Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir hatten beim letzten Mal uns angeschaut, die analytische Lösung im Zeitbereich für

die Differentialgleichung zweiter Ordnung, also in der mechanischen Darstellung,

und waren dabei auf diese Duhamel-Integrale gestoßen, also Faltungsintegrale, und hatten da

dieses Integral erster Art gefunden und konnten schreiben, dass y von t e hoch minus Delta t,

jetzt kam hier der Anfangszustand, wenn man das ganz ausschreibt, Cos omega dt plus Delta

durch Omega d Sinus Omega dt plus y0 null Punkt durch Omega d mal Sinus Omega dt ist,

also das war die Anfangsbedingung, plus jetzt dieses Faltungsintegral von 0 bis t F von Tau,

und dann hatten wir hier diese Funktion g von t minus Tau e hoch minus Delta t minus Tau,

das war in dem g mit drin, das gehört zu dem g mit dazu, ich habe es auseinander geschrieben,

d Tau Himmel mit g von t minus Tau war 1 durch m Omega d mal Sinus Omega dt minus Tau,

und jetzt kommt hier dieses e minus Delta t minus Tau in dieser Form, das war dieses g von t minus

Tau war die Lösung für eine Impulsantwort, so und daraus kann man jetzt eine Zeitschrittintegration

konstruieren, also eine analytische mehr oder weniger Lösung für eine diskretisierte Erregerkraftfunktion,

und das ist der Abschnitt 4.2.4, diskrete Erregerfunktion, und zwar stellt man sich jetzt folgendes vor,

ich habe hier T und ich habe mein F, meine Anregungskraft hier ist irgendwas, und ich kann die

Malvingi Zeit jetzt in gleiche Abschnitte teilen, ja mit einer Schrittweite Delta t, das heißt ich kann jetzt

hier an einzelnen Punkten meine Erregerkraft, die kenne ich natürlich, die kenne ich auch an einzelnen Punkten,

kann ich sozusagen ablesen, und das möchte ich benutzen, um jetzt ein Verfahren zu konstruieren,

bei dem ich das y von t ebenfalls irgendwie als Antwort auf diese Erregerkraft, da kommt jetzt

halt irgendwas raus, berechne, indem ich auch das hier diskretisiere, also auch das nur zu einzelnen

Zeitpunkten betrachte, und zwar nenne ich das hier t, mein F in k minus 1 bis tk, und der Abstand ist hier

auch Delta t, und ich fange natürlich an bei t0, also k gleich 1, dann ist also t0, t1, t2, t3, t4, t5 und so weiter,

gehe ich durch die einzelnen Zeitpunkte durch, und ich kenne natürlich zum Zeitpunkt 0 für t0 meinen

kompletten Zustand, das heißt ich kenne die Anfangswerte y0 und y0 Punkt, und dann möchte ich von dort

zum nächsten Zeitschritt weiterrechnen, und dann kenne ich den Zustand hier und von dort zum nächsten

Zeitschritt und so weiter, das ist immer die Idee einer Zeitschrittintegration, dass ich sozusagen

am Anfang meines Zeitschrittes, mein Fink zum Zeitpunkt tk minus 1, den kompletten Zustand kenne,

und daraus mir dann den Zustand zum nächsten Zeitpunkt tk berechne, wenn ich natürlich das System

kenne und diese Erregerfunktion hier kenne, und dann kann ich folgendes machen, ich kann da oben

dieses Duhamel-Integral hinschreiben, als Integral jetzt nicht von 0 bis t, sondern vom Zeitpunkt tk

minus 1 bis tk, also zwischen diesen beiden Zeitpunkten, ich benutze sozusagen den Zeitpunkt tk minus 1 als

den Anfangszustand, ja, und als Ende meines Zustands den Zustand bei tk, dann kann ich also mir hinschreiben,

y zum gesuchten Zeitpunkt tk ist gleich e hoch minus delta mal t, aber der Zeitraum, der abgelaufen ist,

ist jetzt von da nach da nicht t, sondern delta t, meine Zeitschrittweite, und dann steht hier

cos omega d mal delta t plus delta durch omega d mal sin omega d delta t mal y, jetzt nicht 0, was davor steht,

ich schreibe es jetzt dahinter, sondern der Anfang des Zeitschritts, das ist nämlich y zum Zeitpunkt tk

minus 1 plus e hoch minus delta t, jetzt kommt der zweite Anteil, damit dem y Nullpunkt omega d,

das schreibe ich mir jetzt auch hin als 1 durch omega d mal sin omega d delta t mal y Punkt,

jetzt nicht 0, sondern tk minus 1, das ist der Anfang des Zeitschritts, ja, also die obere Zeile ein bisschen

umsortiert, plus das Faltungsintegral jetzt von 0 bis delta t von f von tk minus 1, das ist der Anfangszeitpunkt,

also t fängt jetzt nicht von 0 bis t, sondern von tk minus 1 plus irgendein Tau Stern mal dieses g von delta t

minus Tau Stern d Tau Stern, also ich könnte hier natürlich auch das Integral von tk minus 1 bis tk minus 1 plus dt laufen lassen,

ja, also von der Zeit bis zu der Zeit und dann verschiebe ich das sozusagen von 0 bis delta t und muss dann hier diese Zeit einsetzen,

das ist jetzt bloß schieben des Nullpunktes, so, das ist also immer noch die analytische Lösung,

das ist sozusagen das obere Integral jetzt zu einem anderen Anfangszeitpunkt hingeschrieben und dann von 0 bis delta t

hingeschrieben und jetzt macht man folgende Annahme, dass sich, um jetzt weiterrechnen zu können,

dass man die Erregerkraft zwischen den beiden Zeitpunkten als linear annimmt, ja, das ist jetzt sozusagen die Abproximation,

die man reinsteckt, ist, ich sage, ich kann zwischen diesen beiden Punkten hier das durch graden Strücke abproximieren

und wenn ich dann natürlich das delta t immer kleiner mache, sozusagen mit kleinerem Zeitschritt rechne,