Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, schönen guten Morgen. Wir haben uns bis jetzt ja mit den ganzen eindimensionalen

Elementen beschäftigt, Stäben und Balken und wollen uns heute anschauen,

wie man zwei- und dreidimensionale, also richtige Flächen oder Volumenhafte Elemente konstruiert.

Das ist ja das, was man in der Praxis tatsächlich am häufigsten braucht.

Viele Elementrechnungen für solche Fach- oder Rahmenwerke werden in der Praxis tatsächlich

nur relativ selten gemacht. Haben wir heute die Gefortung, dass man da das Konzept schön

erläutern kann. Wir kommen deshalb zum Abschnitt 7.8, das sogenannte isoparametrische Konzept.

Was ist das? Man steht, wir machen das jetzt erstmal zweidimensional, vor einem gewissen Problem.

Wenn ich jetzt ein Element in der Ebene haben möchte, x, y, dann könnte ich hier ein Element

konstruieren mit vier Knoten, so schönes rechträchtiges Gebilde, mit irgendwie Kantenlängen

hier a und b. Dann könnte ich Ansatzfunktionen für dieses Element dadurch generieren, dass

ich hier die Knoten 1 habe, 2, 3, 4. Irgendwie Ansatzfunktionen wähle. Der Art für h1 ist

irgendwie 1 plus x durch a. Ich will bei x durch a, also x durch a, mal y durch b zum

Beispiel. Ich könnte sowas machen, wenn ich jetzt x hier aus der Kante laufen lasse. Ich

könnte einfach durch multiplizieren, der 1D Formfunktion in x und y. Irgendwie aufstellen,

das würde man hinkriegen. Das funktioniert aber nur, wenn das Element hier schön am

x, y System ausgerichtet ist. Man möchte aber natürlich auch Elemente konstruieren

können, die irgendwie völlig beliebig darin liegen oder für höhere Ansatzfunktionen,

wenn ich jetzt quadratische oder so ein Serendipity Element habe, dann habe ich ja noch Seiten-Mittenknoten,

dann könnte ich auch ein gekrümmtes Element haben mit krummrenden. Für diese Gebilde

kann ich die Ansatzfunktion nicht in x und y hinschreiben. Wie soll x hier in Abhängigkeit

muss denn von y sein, sondern umgekehrt, das kriege ich hier vielleicht noch irgendwie

gerade hin durch eine Projektion. Für irgendwas beliebig gekrümmtes wird das extrem unübersichtlich

und ich muss ja zur Bestimmung der Elementmatrizen auch über diese Elementfläche integrieren.

Da steht ja das Integral nicht von 0 bis L, sondern über die Fläche, das heißt über

x und y und wenn ich das in x und y formuliere, wie sehen denn dann die Integrationsgrenzen

aus? Also die kriege ich nicht mehr vernünftig hingeschrieben.

Also der Ansatzfunktion und auch der Integrationsgrenzen in x, y, ja ich schreibe mal unmöglich hin,

also im Allgemeinen ist das zumindest sehr schwierig oder auch gar unmöglich. Das heißt

so ein Produktansatz in x und y führt nicht zum Ziel. Was man jetzt macht bei diesem isoparametrischen

Konzept und das ist das Standard-Vorgehen, ist, dass man die Geometrie des Elementes

selber approximiert. Das heißt ich approximiere x und y durch Funktionen und zwar durch die

gleichen Formfunktionen, wie ich sie für die Verschiebungsfunktion benutze, also für

das Verschiebungsfeld. Damit habe ich eine Abbildung auf ein anderes Koordinatensystem,

eine Projektion oder eine Koordinatentransformation durch eine Geometrie-Approximation mittels

Formfunktionen. Das ist also die Idee. Das heißt was man macht ist, ich habe hier meinen

physikalischen x, y Raum, ich habe hier irgend so ein schiefwinkliges Element und das bildet

man ab auf ein neues Koordinatensystem, typischerweise RS genannt und zwar hier auf ein Einheitsquadrat,

bei dem hier die Koordinaten halt 1, 1, minus 1, 1, minus 1, minus 1, 1, minus 1, laut.

Das heißt so eine Abbildung möchte ich haben von also hier x1, y1 und so weiter. Das heißt

das RS-System, das liegt hier irgendwie so drin im physikalischen Raum, das wäre also

RS und diese Transformation nehme ich vor mit Hilfe der Ansatzfunktion oder der Formfunktion.

Das heißt ich approximiere das x, nicht das u, nicht die Verschiebung, sondern die Geometrie

wiederum durch Formfunktion mal den Knotenkoordinatenvektor, nicht den Knotenverschiebungsvektor, sondern

diesen Koordinatenvektor in dem halt x1, x2, x3, x4 und y1 bis y4 zum Beispiel drinsteht

oder halt auch für höhere Elemente, also höhere Polynomen gerade entsprechend mehr

Knoten. So, das ist also die Grundidee mit x, hier also approximiert h, aber dann formuliert

halt in R und S. Diese Formfunktion wären dann hier diese Größen hier, also hier wäre

dann zum Beispiel hier h1 von R und S, na ich schreibe es hier weiter drunter, h1 von R und