Okay, ja, wir haben ja aufgehört gehabt beim letzten Mal mit der Bestimmung der modalen Parameter.

Das heißt, wir haben die Eigenfrequenzen und die Dämpfung bestimmt.

Also entweder aus dieser Suche der Spitzen sozusagen, der Peaks in der Übertragungsfunktion und der Halbwertsbreite oder durch so ein Circlefit-Verfahren aus dem Nyquist-Diagramm.

Es gibt noch mehr Verfahren, aber wir nehmen mal an, dass das jetzt reicht. Das heißt, wir haben die.

Was jetzt noch fehlt, ist natürlich die Bestimmung der Moden selber.

Und das wollen wir heute mal machen.

Das heißt, was wir jetzt brauchen, ist ein Zusammenhang zwischen den Eigenvektoren, die wir ja suchen, also sind die Moden, und der Übertragungsfunktion.

Das ist offensichtlich Mathe, irgendwas. Und zwar machen wir das folgendermaßen.

Wir schauen uns nochmal die Differentialgleichung an, die wir haben für unser Diskretes System.

Das heißt, wir haben hier die Punkt plus K mal Y ist gleich irgendwie ein F.

Und von T natürlich alles.

So, jetzt wollen wir das auf Zustandsform bringen. Warum man das macht, wird man nachher sehen.

Und zwar nicht auf diese Standardzustandsform, dass ich jetzt einen Zustandsvektor einführen.

X, da steht Y und Y Punkt drin.

Und das haben wir in der TSL ja mal gemacht.

Wir werden jetzt aber eine andere Variante uns anschauen. Warum wir das machen, werden wir gleich sehen.

Das heißt, ich führe jetzt folgende Darstellung ein.

Die M, M, 0, da steht hier Y Punkt, Y Zweige Punkte, das ist hier mein X Punkt, plus folgendes K, 0, 0, minus M,

Y, Y Punkt, das ist mein X, ist gleich hier F, die äußere Last, und hier 0.

So, wenn ich mir das anschaue, dann ist das so ähnlich wie die Standardzustandsform, wie man kennt.

Wenn man das hier ausmüsse, steht hier D mal Y Punkt, plus M mal Y Zweige Punkte, plus K mal Y ist gleich F.

Das heißt, die erste Zeile dieses gleichem System ist die Bewegungsdifferentialgleichung.

Und die untere Zeile sagt, M, Y Punkt, minus M, Y Punkt ist gleich 0. Das ist die Identität.

Das ist nichts anderes als die andere Zustandsform.

Ein bisschen anders hingeschrieben, und zwar hier mit Matrizen, die nennen wir mal A1 und A2, und das nennen wir hier B.

Der Unterschied jetzt sozusagen ist, dass die Matrizen A1 und A2, die ich da habe, symmetrisch sind, wenn M und K und D symmetrisch sind.

Das heißt, das erhält die Symmetrie dieser Matrizen.

Außerdem brauche ich keine Inverse der Massenmatrix. In der Standardzustandsform hatte ich ja irgendwie da stehen,

minus M hoch minus 1 mal D und minus M hoch minus 1 mal K. Das heißt, ich musste die Massenmatrix invertieren.

Und diese normale Zustandsmatrix A, wenn man sich an die TSL erinnert, ist unsymmetrisch.

Das heißt, ich komme hier ohne Inversion von der Matrix aus, und es erhält die Symmetrie vorausgesetzt natürlich,

dass die Ausgangsmatrizen symmetrisch sind. Wenn die unsymmetrisch sind, dann ist es natürlich vorbei.

Für dieses Ding kann ich jetzt natürlich auch das Eigenwertproblem lösen, und zwar, das kann man nicht lesen, Wert soll das heißen, Aufgabe.

Das heißt, ich mache einen Ansatz, x ist irgendein x Tilde mal e hoch Lambda t.

Dann habe ich hier, wenn ich das einsetze, habe ich hier a1 mal Lambda plus a2 mal x Tilde gleich 0.

Wenn ich die Eigenwertlösung suche, das heißt für eine homogene rechte Seite das gleich 0, dann also b gleich 0,

einfach den Ansatz eingesetzt, dann kriege ich das raus.

Jetzt bekomme ich, also dann kann ich daraus die Eigenwerte bestimmen, der Terminante von a1 Lambda plus a2 gleich 0.

Das ist die Eigenwertgleichung. Für ein großes System würde man nicht die Determinante ausrechnen und hier die Nullstellen suchen,

sondern das macht man anders. Haben wir ja in der Eigenwertlösung gesehen, wie man das macht.

Was ich jetzt kriege sind, für so ein System, wenn das schön symmetrisch ist und schwingungsfähig, dann bekomme ich hier als Lösung,

ich nenne das F, konjugiert komplexe Eigenwerte, kürze ich eW ab, und zwar habe ich hier Lambda j ist gleich Minus Delta j plus i Omega j

und ich habe Lambda j plus f gleich Minus Delta j minus i Omega j, wenn die Matrizen hier jeweils f Kreuz f sind.

Das heißt ich habe f Freiheitsgrade in meinem physikalischen System und das hier auch hier f Kreuz f.

Und dann ist dieses Ding hier 2f Kreuz 1, ich habe also doppelt so viel Freiheitsgrade hier und die Matrizen sind hier 2f Kreuz 2f und so weiter.

Und dann gibt es natürlich 2f Eigenwerte, aber wenn das ein schwingungsfähiges System ist, dann weiß ich, ich habe immer konjugiert komplexe Paare

und dann habe ich j gleich 1 bis f mit Plus und nochmal j gleich 1 bis f Minus i Omega j.

Das gibt insgesamt 2f Lösungen, entspricht halt auch, die sind die gleichen Eigenwerte, natürlich wenn ich die Eigenwerte von dem Ding bestimme,

da kommt gleich das gleiche heraus. So, jetzt machen wir jetzt wieder Platz.

Also da ist noch nichts Neues passiert. Und ich sortiere jetzt aber die Eigenwerte, alle mit Plus nach oben und die mit Minus nach unten.