Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Schönen Morgen! Wir waren gestern, nein, Quatsch, vorgestern stillgeblieben bei 2.2. Zug und Druck bei Anspruchung von 7.

Und zwar zunächst mal 2.2.1 statisch bestimmte Aufgabe.

Wir hatten im letzten Mal so ein ganz kleines Beispiel gerechnet.

Wir wollen uns heute noch einmal einen allgemeinen Fall anschauen, an dem das Vorgehen eigentlich besser klar wird als an dem anderen.

Wir betrachten einen allgemeinen Fall, bei dem wir annehmen, dass die Querschnittsfläche irgendeine Funktion von X sein kann.

Das heißt, wir betrachten einen Stahl, den hängen wir mal oben von der Decke ab, der hat eine Querschnittsfläche und die kann, ich übertreibe das jetzt mal,

irgendwie einen veränderlichen Querschnitt haben, also dicker und dünner werden, wenn wir hier eine Koordinate X einführen.

Ich meine, Stab ist eigentlich immer ein langes, schlankes Gebilde, so wie ich das jetzt gezeichnet habe, ist das hier oben sicherlich kein schlankes Objekt mehr.

Das heißt, ob man hier Stabtheorie anwenden kann, ist fraglich. Ich habe jetzt deutlich übertrieben mit der Querschnittsänderung, aber man kann sich halt vorstellen, dass das ein konisches oder auch irgendwie begibig geformtes Gebilde hat.

Des Weiteren wollen wir annehmen, dass wir eine Streckenlast haben, klein QX, dann haben wir erstmal diese Querschnittsfläche A von X hier,

und es soll eine Streckenlast, also eine verteilte Last, zum Beispiel das Eigengewicht, hier entlang der Stabachse, das heißt wir haben hier auch ein klein Q von X.

Also zum Beispiel das Eigengewicht, wenn der an der Decke hängt, stellen Sie sich vor, das ist unser Laktid, dann hätte man das Eigengewicht.

Und wir wollen auch noch eine Temperaturverteilung annehmen, Teter von X, das heißt der soll hier entlang der X-Koordinate auch irgendwie eine aufgeprägte Temperaturverteilung haben, die von X abrängt.

Also nur jeden Querschnitt ist die konstant, aber entlang X kann sich das ändern, das heißt ich habe hier also auch irgendwie einen Teter von X.

Gut, jetzt kann man, und als weitere Last wollen wir auch noch eine Endlast hier am Ende F annehmen, also am äußeren Ende ziehe ich da extra mal.

Und gesucht ist natürlich der konkrete Zustand, der Teter von L lang ist, ich suche die Schnittkraft, die Starkkraft da drin, die Normalkraft, S von X oder N von X

und natürlich auch die Längenänderung hier dieses Stabes, beziehungsweise eigentlich das gesamte Verschiebungsfeld U von X hier über diesen Querschnitt.

So, das machen wir jetzt ein Stückchen bei uns, wir schneiden zunächst einmal den Stab frei,

also zeichnen wir den nochmal hin, und wir schneiden an irgendeiner Stelle X durch, das heißt ich habe den hier durchgeschnitten und schneide ihn auch an seinem Lagermalwing frei, jetzt geht das irgendwie weiter.

Ich habe hier die Stelle X an der ich schneide, so ich habe das Lager frei geschnitten, das nenne ich mein W a, jetzt gibt es hier oben meinen U von X und auch den unteren Teil natürlich auch den,

hier das F und da wo ich freischneide, wo ich gut schneide, trage ich meine Schnittgröße ein, die will ich hier S nennen und die ist natürlich abhängig von dem X an dem ich schneide, S von X.

So, und jetzt bietet es sich an, zunächst am ersten Schnitt Gleichgewichtsbedingungen, es bietet sich an hier den unteren Teil zu betrachten, also wenn man das freie Ende, dann braucht man mich schonmal um das a nicht zu kümmern hier oben,

das kann ich nachträglich ausrechnen, wenn ich möchte, so dann stelle ich jetzt fest, dass die Summe der Kräfte in X Richtung für diesen unteren Teil muss 0 sein, da steige ich mal hin,

so was habe ich da, da zeigt in X Richtung einmal das F hier nach unten und da entgegen dieses Minus S von X und ich habe noch den Anteil hier aus dem Sprenglas,

also die Resultierung des Sprenglas, die auf den unteren Teil hier wirkt, die zeigt nach unten, also plus, und die kann ich ausrechnen als das Integral von, ich führe jetzt hier eine Koordinate,

eine Koordinate von X bis L zu integrieren, also hier ist ja mein Schnitt X bis runter L integriert und ich führe hier so eine Laufwage mit Xi ein und kann dann hier schreiben U vom Xi d Xi,

also ich kann hier nicht X schreiben, weil ich X als untere Grenze des Integrals hier habe, also muss ich jetzt irgendein X Strich oder Xi oder irgendwas da einführen als Laufwage.

So, damit kann ich mir das S von X ausrechnen, ist nämlich F plus dieses Integral Xi gleich X bis L Q von Xi d Xi, damit hätte ich meine Schnittkraft bestimmt.

Wie man sieht handelt es sich immer um eine statisch bestimmte Aufgabe, ich kann die Schnittgröße und ich könnte hier freischneiden hier oben das Gesamtsystem, auch das A,

allein aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen, ich habe irgendwie das Stoffgesetz oder Dehnung oder sowas habe ich noch überhaupt nicht verwendet, brauche ich hier nicht,

das ist typisch für eine statisch bestimmte Aufgabe, statisch bestimmt heißt ja gerade, ich kann alle Kraft- und Spannungsgrößen alleine aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen,

Bestehen. Das ist also völlig unabhängig vom Material in diesem Fall. Also ob ich den

Stapel aus Gummi, Stahl oder Holz mache, ist egal für dieses Beispiel. Die Schnittgröße

hier S von X sieht immer so aus. Auch die Spannungen sind unabhängig, weil die Spannung

ist in diesem Fall Kraft pro Fläche. Das heißt das Sigma von x ist halt die jeweilige

Schnittgröße an der Stelle S von x, geteilt durch die Fläche, die Querschnittsfläche

an dieser Stelle A von x. Und wenn das eine Funktion von x ist, muss ich halt den jeweiligen

Wert an den Schnitt einsetzen.

Gut, damit hätte ich die Kraftgrößen, Spannungen, Schnittgrößen alle bestimmen. Wenn ich jetzt

weitermache, dann möchte ich jetzt die Verschiebungen wissen. Und da ist der zweite Schritt, ich

muss das was man als Kilomatik bezeichnet hinschreiten. Das ist in diesem Fall aber

für das ein-dimensionale Problem ganz einfach. Epsilon ist die Unachdicht, die Verzerrungs-Verschiebungsgalaxie,

für das ein-dimensionale Beispiel, ist die Dehnung gleich der Ableitung von u nach x im

ein-dimensionalen, für so ein Start. Gut, das lasse ich einfach mal so stehen.

Außerdem gilt das Stoffgesetz, und zwar für den Start in der Form, dass die Dehnung sicher

zusammensetzt von sigma von x. Und wir wollen mit E sagen, dass das E konstant ist. Auch

das E der Elastizitätsmod tamam könnte noch einemthmogenen Start abhängig sein. Aber

überall gleich, also dass das eine Konstante ist, die Dehnung, also das ist die Dehnung

in Folge Spannung, Sigma durch E und dazu kommt noch die Temperaturdehnung, die war