der Nikolaus hat auch was mitgebracht. Das ist natürlich nicht als Bestechung

für die Evaluation gedacht. Sie können dann also auch ein schreiben, die Lebkuchen

haben überhaupt nicht geschmeckt und das war das Schlimmste an der ganzen Vorlesung.

Gut, ansonsten will ich heute ganz gerne den Beweis zu dem Satz von Warol machen,

den ich beim letzten Mal am Schluss ganz kurz erwähnt hatte.

Worum geht es dabei eigentlich noch mal? Also wir hatten uns ja mit dem Thema

Konstruktion von finalen Co-Algebren befasst beim letzten Mal und da war es

ja dann zunächst mal so, dass man einfach alles dualisiert hatte, was man bei

initialen Algebra gesehen hatte. Also nämlich diese initiale Algebra-Kette

und dann wird es halt die terminale Co-Algebra-Kette und die geht in einer

Kategorie los, indem man das Terminalobjekt nimmt und dann darauf den

Funktor iteriert. Und dann hat man halt nicht nur diese iterierten Objekte, wie

man das in einem CPO hätte, sondern man hat halt am Anfang hier diesen Morphismus

und auf den wendet man den Funktor an. Also das geht jetzt hier weiter, da kommt

dann irgendwo f hoch n von 1 und dann geht es weiter und schließlich nimmt man

dann den Limes davon und beim letzten Mal hat man den glaube ich L genannt, jetzt

nenne ich den mal f hoch Omega 1, das ist der Omega-artige Schritt. Also das ist jetzt nur

eine Notation, das ist nicht irgendwie f Omega mal auf 1 angewandt, sondern das ist

einfach das Limes dieser Kette, das bezeichne ich nur so, was jetzt den

großen Vorteil aber hat, dass ich einfach weitermachen kann.

Nehmen wir jetzt hier mal die ganze Tafel. Also zunächst mal kann ich jetzt wieder f

anwenden, also f von f hoch Omega 1 und das nenne ich dann natürlich sinnigerweise f

hoch Omega plus 1 von 1 und da habe ich jetzt durch die ganzen Limes-Projektionen

hier, nennen wir die mal vielleicht Ln, kleinen L für Limes und Index n für die

Ente. Da habe ich jetzt hier natürlich, wenn ich f davon mache, immer etwas in die

n plus erste, also das wäre jetzt, zeichnen wir die mal hier noch dazu, f hoch n plus

1 von 1, da habe ich dann sozusagen f von Ln und weil hier drunter überall auch fs

stehen ist das natürlich sofort ein Kegel und damit habe ich also hier

irgendeinen eindeutig induzierten Morphismus, sodass also, oder müsste ich

jetzt hier, wenn ich das Dreieck sehen will, habe ich dann hier, vielleicht mache ich

das hier nochmal weg und lasse das jetzt hier laufen, das ist dann also Ln plus 1

und das ist hier das kommutative Dreieck, wofür dieser Morphismus hier eindeutig ist.

Den nenne ich jetzt M. Das heißt, jetzt habe ich sozusagen dieselbe

Situation wieder wie ganz am Anfang, da habe ich ein Objekt, da habe ich f von dem

Objekt und Morphismus und jetzt wende ich auf alles f an. Dann habe ich, also hier

ist f von dem, hier hätte ich jetzt als nächstes f hoch Omega plus 2 von 1 und

hier ist f von M und jetzt mache ich wieder weiter und nehme dann nach abzüge

über vielen Schritten wieder das Limes. Das heißt dann f hoch Omega plus Omega von 1.

Das ist jetzt so eine transfinite Induktion, die da vor sich geht, also

Induktion über Ordinalzahlen. Aber also so etwas kompliziertes müssen wir hier

gar nicht sagen. Es ist einfach so, nach abzüge über vielen Schritten habe ich

hier das Limes genommen, ich kriege wieder so eine Situation und ich mache das

einfach jetzt nochmal, noch mal oder weiter und dann kriege ich jetzt hier

dieses Objekt. Das ist wieder das Limes. Auch die Projektion, die werde ich demnächst

irgendwann benennen wollen. Das heißt, wenn wir hier so ein f hoch Omega plus n von 1 haben

und hier sieht man wieder Punkte, dann ist das hier, das soll pn heißen.

Ja, wie Projektion. Gut, ja vielleicht noch für die Mengen Theoretiker unter ihnen. Also mit

Ordinal Arithmetik muss man ein bisschen vorsichtig sein. Omega plus Omega ist

prima, da kann man nichts falsch machen. Aber wenn man da sagt 2 mal Omega, da muss

man da muss man schon vorsichtig sein, weil 2 mal Omega ist nicht dasselbe wie