Schönen guten Tag, meine Damen und Herren.

Wir haben ja beim letzten Mal, also am Donnerstag, die Zugdruckstäbe abgearbeitet sozusagen.

Das nächste Thema ist der Biegebalken, also 2.3.

Die Biegebeanspruchung gerader Balken.

Wir werden uns hier auf das beschränken, was man als technische Biegelehre bezeichnet.

Das heißt, die Annahme, dass zunächst einmal der Balken im unbelasteten Zustand gerade ist, also kein Bogen darstellt.

Das hat den Vorteil, dass ich den Biegeanteil vom Stabanteil komplett entkoppeln kann.

Das heißt, wenn der Balken im unbelasteten Zustand gerade ist, das heißt, die Schwerpunktachse,

also wenn ich an jedem Querschnitt mir die Flächenschwerpunkt ausrechne und dann diese ganzen Schwerpunkte verbinde,

dann entkoppelt sich Normalanteile von den Biegeanteilen und ich kann die tatsächlich komplett unabhängig voneinander betrachten.

Das beeinflusst die Normalkraft nicht, die Biegung, und Querkraft und Biegemoment beeinflusst dann nicht die Längsdehnung.

Das macht es also sehr viel einfacher. Man muss außerdem nachher annehmen, der Balken sei schlank.

Das heißt, die Querschnittsabmessungen sollen sehr viel kleiner sein als die Länge.

Und was das heißt, das ist so grob die Grenze, wo die Theorie noch vernünftig gilt, ist, wenn die Höhe des Balkens,

wir machen ja nur in der Ebene, Biegung kleiner ist als Länge zehntel.

Also er soll mindestens zehnmal so lang sein, wie er hoch ist, dann sagt man, der Balken ist schlank.

Dafür gilt dann nachher unsere Theorie. Wenn er kürzer, also gedrungener ist, dann ist das nur noch eine schlechte Nährung

und irgendwann passt das halt nicht mehr. Aber wenn er sehr kurzer, stummel ist, ist es halt auch kein eindimensionaler Balken mehr, sondern irgendwas dreidimensionales.

Wir sagen natürlich, das Hugsche Gesetz soll gelten, also lineare Elastizität.

Und wir wollen weiterhin, so wie wir es beim Stab auch gemacht haben, kleine Verformungen annehmen.

Das heißt, wir können hier Gleichgewicht ansetzen am unverformten Balken.

Also der Balken soll sich nicht so sehr verformen, wenn er sich durchbiegt, dass sich das Gleichgewicht signifikant ändert.

Also wenn Sie normalerweise jetzt, wie gesagt, hier irgendwas relativ stabilen Träger nehmen, hängen da ein Gewicht dran,

dann sehen Sie nicht, dass der sich durchbiegt. Er tut es, aber halt nur so wenig, dass der Unterschied zwischen der verformten und der unverformten Geometrie vernachlässigbar ist.

Ansonsten ist das ein nicht lineares Problem, weil Sie ja erst die unbekannte Gleichgewichtslage suchen müssen.

Die kennen Sie ja noch nicht, und da müssten Sie sozusagen Gleichgewicht in einer unbekannten Lage suchen.

Das ist also sehr viel schwieriger als diese Annahme, dass das Gleichgewicht am unverformten Körper aufgestellt werden kann.

Gut, so das sind sozusagen die Bedingungen, und bevor wir überhaupt so weit kommen, müssen wir jetzt erstmal heute, wenn wir einen ganzen Tag damit brauchen,

also die ganze Vorlesung, eine geometrische Hilfsgröße zu diskutieren, nämlich die sogenannten Flächenmomente zweiter Ordnung.

Wir werden die nachher brauchen, und ich habe die schonmal erwähnt, als wir den Schwerpunkt bestimmt haben.

Da haben wir folgende Integrale gebraucht, sowas wie x dA, das Integral y, dA, das Integral z, dA, da gab es diese Integrale.

Das sind, hatte ich damals schon gesagt, Flächenmomente, wie man sagt, erster Ordnung, weil hier sozusagen gedanklich x, y und z mit hoch 1 stehen.

Das war natürlich nicht dazu, und so könnte ich beliebig höhere Flächenmomente bilden, indem ich nämlich das Integral y² dA bis x hoch n dA,

also ein Flächenmoment nter Ordnung, brauchen, oder könnte man bilden. Brauchen tun wir Momente zweiter Ordnung in folgender Form,

das I, werden die groß I, y, y, das ist das Integral z² dA, eventuell ein Izz, das ist das Integral y² dA,

also die Benennung geht hier über Kreuz, warum wird man nachher sehen, und es gibt so einen gemischten Term I, y, z, das ist das Integral y, z, dA,

und das hat noch ein Minuszeichen, also sind das Abkürzungen für Terme, nämlich diese Integrale z², y², dA, die später bei dieser biege Lehre, dieser technischen Biegetheorie auftauchen.

Das sind so Integrale, und die kürzt man halt so ab, und die haben bestimmte Eigenschaften, die wir diskutieren wollen, oder wie man das auch berechnet für typische Querschnitte.

Also Iy, y und Izz, das sind sogenannte axiale Flächenmomente zweiter Ordnung, oder auch werden als axiale Flächen Trägheitsmomente bezeichnet.

Der Moment Trägheitsmoment kommt daher, dass wenn ich Dynamik machen würde, also eine Balkenschwingung, dann würden diese Terme auch auftauchen,

um die Drehträgheit des Querschnittes, sozusagen die Massenbelegung bei einer Rotation zu beschreiben, da taucht das auch auf, daher heißen die halt auch Trägheitsmomente,

allgemein Flächenmomente hier zweiter Ordnung, und dieser gemischte Term Iyz, das ist das sogenannte Deviationsmoment, und Deviationen halt irgendwas mit Abweichung zu tun,

das werden wir später sehen, dieses Deviationsmoment taucht immer dann auf, wenn die Achsen, in denen ich das beschreibe, nicht sogenannte Hauptachsen sind,

also beschreiben sie dann die Abweichung von Hauptachsen. Was das ist, werden wir aber jetzt kennenlernen, wenn wir das ein bisschen weiter gerechnet haben.

Also erstmal bloß Benennung, und wir werden später noch brauchen, nicht bei der Biegung, aber für die Torsion, also wenn ich ein langes, schlankes Ding so in sich verdrehe und nicht biege,

dann brauche ich noch Folgendes, ein Ip, und das ist das Integral r² dA, also ein Abstand dA, einfach gemessen vom Schwerpunkt, werden wir gleich sehen,

das heißt das sogenannte polare Flächenträgheitsmoment. Und da r² mit r² ist hier in der Ebene, in der yz-Ebene, in dem ich den Balkenquerschnitt betrachte,

ist halt r² gleich y² plus z², folgt offensichtlich, wenn ich das einsetze hier, dass das Iy, das Iy plus das Izz ist.

Also so ein einfacher Zusammenhang, also Ip ist die Summe aus den beiden, das polare Flächenträgheitsmoment ist immer die Summe aus den beiden Axialen.

So, wenn man sich das anschaut in der Definition, dann stellt man fest, das Iy, das Izz und damit auch das Ip sind immer größer 0,