Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, schönen guten Abend, meine Damen und Herren.

Wir hatten beim letzten Mal angefangen mit dem Abschnitt 2.3.4.

Die Biegeverformung gerader Balken.

Und hatten folgende Zusammenhänge hergeleitet, nämlich diese differenziellen Beziehungen,

dass EI W2 gestrichen gleich minus M ist und dann die Gleichgewichtsbedingungen ausgenutzt, dass das minus Q ist.

Wenn ich das noch einmal ableite und wenn man das noch einmal ableitet, EI W2 gestrichen in sich noch zweimal abgeleitet,

dann bleibt hier EI W3 gestrichen, das gleich Minus Q.

Und EI W4 gestrichen ist die Streckenlast.

Und das da oben bleibt natürlich ohnehin erhalten.

Und wir hatten beim letzten Mal ein erstes Beispiel gerechnet, bei dem wir das M von X, das Biegemoment,

an einem statisch bestimmten System durch Freischneiden und Ausnutzen der Gleichgewichtsbedingungen berechnet hatten,

als Funktion von M von X und haben dann zweimal integriert, um die Biegelinie W von X zu erhalten.

Und wir wollen heute weitere Beispiele rechnen, alternative Möglichkeiten.

Und das erste ist die Variante, die sich anbietet, wenn man eine veränderliche Streckenlast hat oder überhaupt eine Streckenlast,

Q von X hier hat, dann integriert man das Q viermal, entsprechend dem W4 gestrichen hier, um auf die Biegelinie zu kommen.

Und das ist das zweite Beispiel, Integration der Streckenlast.

Und gegeben ist hier ein einseitig eingespannter Balken, der Länge L.

Wir lassen X vom linken Ende laufen, EI sei gegeben und sei konstant, da muss man das nicht mit hoch integrieren.

Und als äußere Last sei gegeben eine Streckenlast, die linear veränderlich ist, als kleinen Q von X.

Das ist eine lineare Funktion, die hier von Q0 auf 0 laufen soll, von 0 bis L.

Und die Funktion Q von X kann man dann hinschreiben als Q0 mal 1 minus X durch L.

Also für X gleich 0 habe ich Q0 und für X gleich L ist das 0, das ist genau diese lineare Funktion hier, dieser lineare Verlauf.

So, und jetzt könnte man freischneiden hier, irgendwo an einer Stelle X, das Moment antragen, M von X aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen

und dann das M von X zweimal integrieren.

Das ist relativ aufwendig, weil man immer sozusagen die Lage des Schwerpunkts,

diese abgeschnittenen Stück hier oder womöglich dieses Trapez, was ich hier durchschneide, übrig bleibt, bestimmen muss und die Resultierende,

kann man sich schenken, indem ich gleich bei Q von X anfange, indem ich nämlich jetzt hinschreibe, EI W4 gestrichen als Funktion von X ist gleich kleinen Q von X,

also Q0 mal 1 minus X durch L. So, und das integriert man jetzt hoch, indem ich jetzt EI W3 gestrichen von X ist gleich das Integral,

da steht hier Q0 mal L, X zu L, minus ein halb X zu L Quadrat, also das ist auch jetzt, kann man gedacht, ich mache mal hier eckige Klammern, plus C1.

Also das L habe ich hier rausgezogen, damit ich hier wieder solche Dimensionslösungen und Größen bekomme, eigentlich integriere ich 1, das ist X,

X gibt X Quadrat halbe, und ich ziehe ein L hier vor die Klammer, dann habe ich hier wieder X zu L und hier habe ich X zu L zum Quadrat,

das ist wieder nur Kosmetik, damit das Ergebnis so in so einer dimensionslosen Form da steht, ist nicht nötig, ob Sie das L da nun drin stehen lassen oder rausziehen,

ist viel gesprungen, also in der Prüfung eher nicht zu empfehlen. Was Sie beim integrieren aber dazu fügen müssen, ist die Integrationskonstante,

die zunächst einmal einfach da als Unbekannte stehen bleibt, über die machen wir uns nachher Gedanken. Jetzt kann ich das noch einmal machen,

EI W2 mal X, und das ist jetzt halt so eine Fleißaufgabe, Q0 L Quadrat, dann steht hier, 1,5 X zu L zum Quadrat, minus 1 Sechstel X zu L hoch 3,

plus C1 X, plus C2, das C1 ist eine Konstante, wenn ich die einmal integriere, die muss ich jetzt beim integrieren mit berücksichtigen,

kommt hier halt C1 X, plus eine weitere Konstante, also bei jedem Integrationsstück kommt eine Konstante dazu,

und bei jedem Konstante, die schon da war, muss ich einfach mit integrieren. Und das mache ich jetzt halt noch zweimal, jetzt steht hier EI W Strich von X,

ist Q0 L hoch 3, und dann steht hier ein Sechstel X zu L hoch 3, minus ein Vierundzwanzigstel X zu L hoch 4, plus C1,

steht ein Halb X Quadrat, plus C2 X, plus C3, also die dritte Konstante, und schließlich EI W von X ist Q0 L hoch 4,

ein Vierundzwanzigstel X zu L hoch 4, minus ein Einhundertzwanzigstel X zu L hoch 5, plus C1, ein Sechstel X hoch 3, plus ein Halb,

oder was ist so C2, mein ein Halb X Quadrat, plus C3 X, plus C4. Ja, also ich habe jetzt einfach stur hoch integriert,

bei jedem Integrationsschritt kommt eine Konstante dazu, die übrigen Konstanten habe ich halt immer mit integriert,

habe jetzt hier vorne einen Term Anteil, dass der Streckenlast kommt, plus diese vier Konstanten da, die ich noch bestimmen muss.

Und jetzt muss man sich halt diese Bedingungen überlegen, aus denen man die Konstanten bestimmen kann,

und wir haben natürlich jetzt beim Hochintegrieren noch überhaupt nicht berücksichtigt, wie die Randbedingungen aussehen.

Ich habe also das Q von X bloß genommen und hoch integriert, ob der Balken hier eingespannt ist und dort frei,

oder hier irgendwie gelenkig gelenkig gelagert ist oder dergleichen, ist noch nirgendswo eingeflossen.

Die Bedingungen kann ich jetzt noch ausnutzen. Im Prinzip ist die Lösung, die hier steht, eine ganz allgemeine Lösung