Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, wir schneiden jetzt etwas formaler ein in diese Sache mit den Code-Daten-Typen.

Und zwar die Kopf.

Wie ihr schon habt, der letzte Mal schon, kürzen wir mal zum Code-Daten.

Nicht, dass das ein Code-Daten-Typ geht, es ist natürlich Code-Daten.

Wir hatten uns letztes Mal so ein Informatis-Klartbill angesehen mit Streams.

Und wir wollen jetzt stärker durchnormalisieren, was da eigentlich passiert ist, um dann letztlich auf unser heute zunächst Mal Co-Rekursionsprinzip für Funktionsdefinitionen zu kommen.

Was wir jetzt tun, ist Versteckung, Abstraktion und dann Konkreter.

Was man jetzt eigentlich sagen will an dieser Stelle, für jemanden, der den dergazart das nachzulesen ist, sei je ein Z-Punkt.

Machen wir jetzt nicht, sondern wir definieren das Konkreter, wenn man was in der Hand hat.

Also, wir definieren jetzt, was ein Mengen-Operator ist.

Und wenn Sie das in der Literatur suchen, können Sie finden, dass ein Mengen-Operator sonst ein Polynomial-Funkor heißt.

Also, ein Mengen-Operator, typischer Nutzstabe G und die wir in der Nachbarschaft VF und H.

So, und was das ist, das definieren wir durch eine Grammatik.

Und das ist jetzt kein deutscher Satz, das muss heißen Mengen-Operator.

So, durch die Grammatik, die jetzt kommt, definiert.

Das ist ein Mengen-Operator. Nun, ein Mengen-Operator kann sein, entweder eine konstante Menge A.

Ein Mengen-Operator ist leicht, wenn wir das definiert haben, etwas, das sich anwenden kann auf eine Menge, dann kommt eine andere Menge raus.

Zum Beispiel kann das, dass ich eine andere Menge zurückgebe, also besteht einfach keine Rücksicht auf das Argument, sondern eine konstante Menge A.

Identität ist ein Mengen-Operator. Also der, der praktisch eine Menge einfach wieder zurückgibt, die ich ihm zulache.

Und dann kommen unsere Mengen-Konstruktionen, die wir kennengelernt haben, also einmal ein kathesisches Produkt.

Ich kann also das kathesische Produkt von zwei Mengen-Operatoren bilden.

Und ich kann die Summe, die 1 plus die 2. Jetzt wird jemand einen vorstellenden Satz draus lernen, wie ich die Grammatik definiere.

So, das ist zunächst einmal eine Summe. Also ein Mengen-Operator ist ein Ausdruck über konstante Mengen, Identität und Malen.

Was wir mit dem Ding machen wollen, deswegen heißt es so, ist es auf eine Menge x anwenden. Da kommt raus etwas, das schreiben wir gx.

Traditionellerweise e auch ohne Klammer, weil es nicht so einfach ist, es besteht im Plan.

So, also dieses gx, das definieren wir, und zwar reklosiv auf die offensichtliche Weise.

Aber bevor ich mir jetzt den Mund füsselig rede, warum es offensichtlich ist, wie man es definiert, kann ich es auch mal anschauen.

Erster Fall, das ist vielleicht ein bisschen gewöhnungsbedürftig, wenn das einfach ein konstanter Operator ist und ich wende ihn an auf eine Menge x.

Da kommt eben diese Menge a raus. Das soll eben konstant sein, das soll in seinem Argument kein Witz geben.

Die Identität, die liefert natürlich ihr Argument x einfach wieder zurück, die das Identität nochmal tut.

Dann kann ich so ein Kreuzprodukt von zwei Mengen-Operatoren auf ein Menge anwenden, das ich damit meine, ist punktweise ein Kreuzprodukt.

Daraus kommt g1x Kreuz, g2x und genauso für die Summe, ja, Summe soll auch punktweise Summe sein, also kommt raus g1x plus g2x.

Und wobei das eben hier rechts immer unsere Mengen-Operationen bezeichnet, also hier zum Beispiel die Lysion mit Vereinigung 2.

Mit anderen Worten, so ein Ausdruck heißt genau das, was man denkt. Gut, das war jetzt die Anwendung auf Mengen.

Und wenn wir die Symbolik angucken, dann erinnern wir uns, dass diese ganzen Symbole ja genauso gut für Abbildungen funktionieren.

Das heißt, genauso definiere ich die Anwendung von diesem Ausdruck g auf eine Funktion f.

Dann machen wir mal eine von x nach x. Gut, ein bisschen schnupft man recht weit, also hier dann auf der rechten Seite, wenn ich wirklich sage ganz analog,

ja, dann kommt also hier eine Menge raus.

Wir hatten schon mal angefangen, die Identität auf einer Menge a kurz schlichen einfach als a zu bezeichnen. Üblicher ist Brauch von Mutation.

Und dann ist klar, was das hier heißt, ja, also wenn ich hier eine konstante Menge a habe und diesen Mengen-Operator anwende auf eine Funktion f,

dann kommt raus die Identität auf a.

Ansonsten sieht die Definition genau aus wie die da oben, nur dass sie überall statt x, z, f schreibt.

Ja, natürlich geht es zweit, ja, das ist irgendwie, ich habe vorhin einen Haken erzählt, ja, fast zweimal.

So, ja, dann habe ich also praktisch einen Operator, den kann ich auf Mengen-Ur und auf Abbildungen anwenden und ich beobachte,

ja, von woher, wo wird denn dann diese Abbildung gf?

Naja, wir hatten diese Operationen auf Abbildungen so gebaut, dass die sich, dass sich die, die an der Definitionsbereich und der Wertbereich der Funktion

immer nach demselben Muster entwickeln, also zum Beispiel, wenn f von x nach y geht und g von z nach w, ja, dann geht f Kreuz g von x Kreuz z nach y Kreuz w und so weiter.

Das heißt, ich habe immer denselben Ausdruck für die Abbildung, für den Definitionsbereich und für den Zielbereich der Abbildung.

Das heißt, diese Abbildung gf, die geht dann von gx nach dy.