schön guten tag meine damen meine herren noch mal wiederholung sozusagen

was wir gestern gemacht haben wo wir aufgehört haben

wir hatten ja den starve uns die lösungen angeguckt die analytischen

wollen dass mit balten machen sind ausgegangen hier von dieser normierten

Differentialgleichung, also W4 gestrichen, plus dieses 1 durch a² W2 gepunktet gleich 0,

wobei in dem a² halt das Verhältnis von Steifigkeit zu Masseneigenschaften steht,

also EI durch rho a, ähnlich wie beim Stab, da stand einfach E durch rho und dann war dieses

Wurzel aus E durch rho auch die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinalwelle.

Dieser Parameter EI durch rho a oder auch die Wurzel daraus ist keine Geschwindigkeit.

Also das ist einfach nur ein Parameter. Die Wellengeschwindigkeit der Biegelwelle

sieht anders aus. Die taucht sozusagen hier nicht direkt auf. Wenn wir das lösen wollen,

haben wir machen wir genauso wie beim Stab diesen Separationsansatz, dass wir sagen W ist ja eine

Funktion vom Ort und der Zeit, splitte ich multiplikativ auf in eine Ortsfunktion W von X mal

eine Zeitfunktion T von T. Dann kann ich das einsetzen, diesen Separationsansatz hier oben,

sortiere das ein bisschen um, dann kommt zunächst einmal diese Gleichung raus hier a² W4 gestrichen

durch W ist gleich minus T2 gepunktet durch T. Das heißt ich habe hier die ganzen Ortsabhängigkeiten

drin stehen, hier die ganzen Zeitabhängigkeiten, aber das soll gleich sein. Das kann aber irgendwas,

was ortsabhängig ist und was zeitabhängig ist, gleich, das kann nur dann gleich sein,

wenn das weder vom Ort noch von der Zeit abhängt, also wenn das eine Konstante ist.

Im Hinblick darauf, dass ich schon weiß, was rauskommt, nenne ich diese Konstante jetzt

omega2 und betrachte jetzt jeden Teil für sich. Also hier minus T2 gepunktet durch T ist gleich omega2,

das ist das gleiche wie T2 gepunktet plus omega2, T ist gleich 0. Die Lösung kennen wir schon,

das ist die Differentialgleichung des Einfreiheitsgrad Schwingers sozusagen. Die Lösung ist bekannt,

T von T ist irgendwie konstante Markosins omegaT plus weitere konstante Malsinus omegaT.

So für den Ortsanteil habe ich halt nicht die zweite Ableitung, sondern hier eine vierte Ableitung,

jetzt halt alles nach dem Ort. Kann ich einen Exponentialansatz machen und den auch hoch

integrieren sozusagen. Dann kriege ich vier Terme, weil ich ja viermal sozusagen integrieren muss

hier raus. Die kann ich hinschreiben als wieder einmal Sinus und Kosinus plus noch mal Sinus und

Kosinus hyperbolicus an der Stelle mit einem neuen Parameter beta, den ich bilde aus beta hoch 4 ist

omega2 durch a2. Also nur noch eine weitere Abkürzung an der Stelle. So und das ist jetzt die Lösung,

ich habe hier vier Konstanten. Diese vier Konstanten möchte ich jetzt versuchen zumindest teilweise zu

bestimmen aus den Randbedingungen, die mein System hat. Um das jetzt schöner machen zu können oder

geschickt machen zu können, hatten wir hier oder nicht wir, sondern Herr Rayleigh, diese Idee das

umzusortieren. Also erstmal diese Kosinus und Sinus Funktionen neu zusammenzufassen. Wenn ich

das ausmultipliziere hier habe ich auch wieder Kosinus und Sinus Terme, also einfach eine

Linearkombination und dann sind Kombinationen aus den Ds entsprechend den alten Cs. Jetzt fragt man

sich halt warum ich das so wirren. Auf den ersten Blick sieht das nicht besonders hübsch aus,

aber diese vier Funktionen, die hier stehen, die sogenannten Rayleigh Funktionen haben halt

diese schöne Eigenschaft, wie wir gleich sehen, wir haben schon gesehen, dass die Ableitung der

Rayleigh Funktion wieder die nächste oder die davor gehende Rayleigh Funktion ist. Die Ableitung

von R1 ist R4, die Ableitung von R2 ist R1 und so weiter. Auf der nächsten Seite sieht man das,

das hat eine sehr schöne zyklische Zusammenhang, sodass man also bei dem Ableiten nicht groß

nachdenken muss, was Sinus und Kosinus immer hin und her schiebt. Man hat immer das better mal

die Funktion einfach vorher, so sind die halt deshalb auch so angeordnet, damit das gilt.

So, also das ist der Grund warum man diese Rayleigh Funktion einführt. Es arbeitet sich

einfach leichter damit. So und jetzt ist die Idee der Zustand meines Balkens ist gekennzeichnet

durch die Verschiebung, die Querschnittsneigung, also W und W Strich, das Moment und die Querkraft

an irgendeiner Stelle, wobei das Moment im Prinzip W2 gestrichen ist und die Querkraft ist W3

gestrichen, aus dem Stoffgesetz. So, dann kann ich jetzt hier mein W hinschreiben, W an der Stelle

0, ich nehme ein Ende, bei X gleich 0, dann ist das offensichtlich D1 mal das R1 an der Stelle 0 und