So, als nächstes machen wir noch eine kleine Wiederholung zum Thema gewöhnliche Differentialgerächtungen.

Ja, insbesondere gewöhnliche Differentialgerächtungen erster Ordnung oder Systeme erster Ordnung gehen wir in der Form U' von T gleich F von T und U von T schreiben.

Wenn wir eine partielle Ableitung hätten, dann wäre es einfach DTU, was in dem Fall aber etwas zu viel das Guten wäre, da wir sonst keine Variablen haben.

Gut, wir wissen, was wir gut lösen können, das sind lineare Gleichungen und Systeme U' gleich A mal U,

das führt auf eine Lösung U von T ist U von 0 mal I auch integral 0 bis T A von SDS.

Und bei einem System besteht die Schwierigkeit da, wenn dann dieses Matrix exponentiell zu definieren, aber auch das kann man über die Eigenwertzerlegung oder über Potenzreihen sehr schön machen.

Bei Affinlinieangleichungen oder Systeme vom U' gleich A von T mal U plus B von T kann man Systeme mit Variation der Konstanten

lösen oder anders gesagt, man macht einfach den Ansatz U von T ist E hoch integral A DS, also quasi die homogene Lösung, mal V von T und das führt dann, wenn man das einsetzt,

auf eine sehr einfache Gleichung für V, die man integrieren kann und daraus die Lösung bestimmen kann.

Eine dritte Form von Gleichungen, die man gut lösen kann, sind sogenannte separablen Gleichungen.

Und der Form U' ist P von U mal Q von T, also die Funktion F da oben separiert in ein Produkt aus einer Funktion von T und einer Funktion von U.

Dann kann man die Lösung vorgegendermaßen berechnen, wir können mal zumindest formal durch P von U dividieren, müssen natürlich aufpassen, wo sind die Nullstellen,

wenn wir das jetzt mal außer Acht lassen haben, wir hier U' durch P von U ist Q von T und das ist per Kettenregel das gleiche wie P von U abgeleitet,

das ist ja P, wobei P eine Stammfunktion von 1 durch P ist, also P von S, integral von 0 bis S oder von irgendeinem Punkt, wenn 0 gerade ungünstig ist,

durch P von S die 1 durch P. Dann sehen wir mit Kettenregel, ist das genau die Ableitung, das heißt wir wissen P von U ist also das integral von 0 bis T von Q plus P zum Anfangszeitpunkt.

Jetzt brauchen wir eine lokale inverse Funktion von diesem P.

Wir kriegen heraus U ist P hoch minus 1 von diesem integral von Q plus P von U.

In dem Fall natürlich auch wieder die lineare Gleichung eigentlich, ein Spezialfall davon, da wäre P von U gleich U, das heißt wir hätten U' durch U hier stehen,

groß P wäre dann der Logarithmus und das inverse des Logarithmus ist die Exponentialfunktion und deswegen kriegen wir genau diese Formel da oben als ein Spezialfall der Lösung einer separablen gewöhnlichen Differentialgleichung heraus.

Gut, wir sehen das sind sozusagen die interessanten Fälle und das brauchen wir auch manchmal bei partiellen Differentialgleichungen. Tatsächlich interessiert man sich manchmal auch für gewöhnliche Differentialgleichungen oder Ungleichungen,

die man aus partiellen Differentialgleichungen herleitet, zum Beispiel wenn man sowas nimmt wie die Wärmeleitungsgleichung oder die Wellengleichung,

könnte man sich fragen was passiert mit der Energie, das ist sowas wie das integral von U² im Ort, das ist dann nur noch eine Funktion der Zeit,

dann kann man sich überlegen wie ändert sich die Energie in der Zeit und kann dafür gewöhnliche Differentialgleichungen oder Ungleichungen herleiten.

Dann kann man sich auch hier überlegen, wenn P geeignete Monotonie-Eigenschaften hat, gilt alles was wir hier für die Gleichung, was wir aufgeschrieben haben auch für die Ungleichung.

Dazu kommen wir in einem Spezialfall auch später gleich nochmal. In diesem Sinne tritt sowas manchmal auf, auch bei der Analyse von partiellen Differentialgleichungen braucht dann schon ganz gut wie sowas aussieht.

Also es ist nicht ganz so speziell wie es jetzt an dieser Stelle wirkt. Gut, das sind so mal die Dinge die wir lösen können,

dann brauchen wir zwei wichtige Resultate für ein allgemeines System, ich schreibe jetzt das System mit einem großen U auf.

Also das allgemeine System schreiben wir als U' ist F von T und U, U soll von R plus nach RM gehen und F von R plus Kreuz RM wieder nach RM.

Und da gibt es zwei zentrale Sätze die man wissen sollte, der eine für die Existenz, der andere auch für die Eindeutigkeit.

Der erste ist der Satz vom Peano, der sagt wenn F stetig ist dann existiert

mit jedem Anfangswert von 0 gleich O0 eine Lösung der Gleichung U, die ist sogar in C1 von R plus nach RM.

In meiner Notation aus der letzten Vorlesung, C1 aber nicht notwendigerweise C1B auf R plus, also für T gegen unendlich, kann diese Lösung auch gegen unendlich gehen.

Den Beweis wiederholen wir hier nicht, nur kurz die Idee, die passiert auf einem Fixpunkt Satz wie viele andere Dinge auch.

Man schreibt das ganze um als U von T ist gleich U0 plus Integral 0 bis T F von S U von S dS.

Und dann könnte man für ein endliches Zeitintervall zunächst zeigen, dass die Lösung existiert für beliebiges Groß T und dann kann man Groß T gegen unendlich gehen lassen, damit man die Lösung auf ganz R plus bekommt.

Und wenn man sich auf so einem beschränkten Zeitintervall, ist das tatsächlich ein sehr einfacher Fixpunkt Operator.

Ich würde sagen ein Operator F, der von den stetigen Funktionen auf diesem Zeitintervall wieder in die stetigen Funktionen nach RM abbildet.

Das ist schon mal gut. Und dann zeigt man einfach mit Azeela Ascoli, Azeela Ascoli ist der Ersatz, der die kompakten Mengen im Raum der stetigen Funktionen charakterisiert, zeigt man, dass dieser Operator ein kompakter Operator ist.

Also F ist nicht nur ein stetiger, sondern ein kompakter Operator, das heißt, wenn ich mit einer beschränkten Folge anfange und ich wende F darauf an, dann erhalte ich immer eine konvagente Teilfolge.

Dann gibt es ein schönes Resultat für kompakte Operatoren, den Schauderschen Fixpunkt Satz, wenn man den richtig anwendet.

In diesem Rahmen der stetigen Funktionen bekommt man die Existenz eines Fixpunkts.

Das ist F von U, das ist gleich F von U. Dieser Fixpunkt liegt zunächst nur im Rahmen der stetigen Funktionen von 0T nach RM und erfüllt also diese Integralgleichung statt der Differentialgleichung.

Jetzt kann man aber sofort wieder mit dem Hauptsatz der Integral- und Differentialgleichung zeigen, wenn U stetig ist und F stetig ist, dann ist dieses Ding hier stetig und dann ist es die Stammfunktion einer stetigen Funktion.

U von T ist U von 0 plus ein Integral, hier etwas Stetiges und daraus folgt auch, dass U selbst stetig differenzierbar ist.

Und es folgt das U Strich gleich F von T und U. Das ist die Idee des Satzes vom Piano, der Grube Beweis.

Und es gibt einen zweiten wichtigen Satz, den Satz von P.K. Lindelöf, der unter einer bisschen stärkeren Bedienung

auch die Eindeutigkeit einer Lösung zeigt.

Manchmal in der englischen Sprache oder in der französischen Literatur heißt dieser Satz auch Košilipšić.

Falls jemand ein Buch das so findet, nicht wundern.

Wir haben hier das selbe Setup wie bei Piano.