Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben beim letzten Mal uns mit den Grundlagen des Einmassenschwingers angefangen zu beschäftigen.

Hintergrund war ein paar Begriffe einzuführen, also noch mal Bewegungsgleichungen aufstellen

und dann solche Sachen einzuführen wie diese Kreisfrequenz, das Bringen auf die Normalform

und auch schon den ersten Lösungsansatz für dieses einfache System.

Da wollen wir uns heute noch einen Punkt anschauen.

Im Abschnitt 1.2.2 den Einfluss der statischen Ruhelage.

Wir hatten uns gestern einen Einmassenschwinger angeschaut, bestehend aus Feder und Masse.

Ich hatte den gestern so schön waagerecht hingegezeichnet und gesagt, es gibt keine Erdbeschleunigung,

also keine Gewichtskräfte.

Die wollen wir jetzt mit dazu nehmen.

Das heißt, das Ganze soll sich jetzt im Schwerefeld bewegen.

Ich habe hier weiter C und M und ich kann hier die Lage durch Y von T angeben.

Wenn ich das jetzt in der ausgelenkten Lage freischneide, dann habe ich hier meine Federkraft

C mal Y als rückstellende Kraft.

Wenn ich also positiv ausgelenkt habe, versucht die Feder das nach oben zu ziehen.

Gleichzeitig wirkt aber jetzt noch M mal G das Eigengewicht auf diese Masse.

Wenn ich mir die Bewegungsgleichung hinschreibe, dann habe ich Summe der Kräfte ist gleich

Masse mal Beschleunigung, Summe der Kräfte in positive Y-Richtung habe ich hier M mal

G minus C mal Y.

Dann bleibt folgende Bewegungsdifferentialgleichung übrig, M Y 2 gepunktet plus C mal Y.

Die ganzen Terme mit Y schaffe ich auf die linke Seite, auf der rechten Seite bleibt

jetzt aber M mal G stehen.

Statt Null wie gestern, wir haben hier dann eine, wie man sagt, inhomogene Differentialgleichung,

weil die rechte Seite ungleich Null ist.

Rechte Seite gleich Null heißt homogen, rechte Seite ungleich Null inhomogen.

In diesem Fall ist das eine extrem einfache rechte Seite, das ist nämlich einfach eine

konstante, das Eigengewicht, Masse mal Erdanziehung.

So, jetzt weiß man sozusagen aus der Mathematik, dass die allgemeine Lösung einer solchen

Differentialgleichung setzt sich zusammen aus der homogenen Lösung, also der Lösung

der Differentialgleichung für rechte Seite gleich Null, die haben wir am letzten gestern

schon ermittelt, also Y H von T plus der sogenannten particulären Lösung Y P eigentlich auch von

T.

Jetzt haben wir mit diesen Tafeln erstmal irgendwie hier klarkommen.

Achso, jetzt kann man die gar nicht alle drei übereinander.

Na gut.

Plus ein particulärer Anteil.

Das gilt also für jede Differentialgleichung, kann ich die Lösung in der Form darstellen.

So, die homogene Lösung, das ist also M Y 2 gepunktet homogen plus C Y homogen gleich

Null, also löst die homogene Differentialgleichung.

Die kennen wir schon.

Das haben wir gestern ausgerechnet, das kann ich hinschreiben als Meinwing A 1 Cos omega

Null T, es ist ja ungedämpft, plus A 2 Sin omega Null T.

Das haben wir gestern hergeleitet, das war der Fall sozusagen, wo das waagerecht lag.

So, die particuläre Lösung ist in diesem Falle jetzt extrem billig, weil das ja nur

eine Konstante ist.

Das ist jetzt irgendeine Lösung, die die Differentialgleichung, und zwar die sozusagen

richtige, die inhomogene löst.

Ja, in diesem Fall macht man, oder das macht man fast immer, einen sogenannten Ansatz der

rechten Seite, vom Typ der rechten Seite.