Aufgabe 5. Hier haben wir jetzt eine ganze Reihe von Reihen, eine ganze Menge von Reihen zu beurteilen

auf ihre Konvergenz oder Divergenz. Die erste Reihe k gleich 1 ist unendlich 1 durch 4k

Quadrat minus 1. Das können wir jetzt sogar auf zwei verschiedene Art und Weise uns anschauen.

Das erste ist, wir benutzen das Majoranten Kriterium um zu beweisen, dass die konvergiert.

Also erstmal warum sollte man erwarten, dass es hier konvergiert? Moralisch gesehen ist

diese minus 1 hier unerheblich, weil sie im Vergleich zu der k Quadrat, was hier vorne

steht, vernachlässigbar ist. Das heißt, das ist ungefähr so etwas wie 1 durch k Quadrat

und bei 1 durch k Quadrat wissen wir, dass das dann als Reihe konvergiert. Also das ist

als erste Idee auf jeden Fall wichtig. Ich frage, ob wir das konkret machen können und

wenn wir schon sehen, da ist jetzt so fast die Struktur von 1 durch k Quadrat drin, dann

bietet es sich an, das jetzt hier zu versuchen, das mit dem Majoranten Kriterium zu dieser

Reihe abzuschätzen. Es ist jetzt nicht super einfach, also wollen eigentlich sowas machen

wie 1 durch 4k Quadrat minus 1 ist kleiner als 1 Quadrat. Jetzt ist aber das Problem

so ein bisschen wie diese minus 1 hier. Wenn wir die minus 1 weglassen, dann machen wir

den Nenner größer, also die 2 insgesamt kleiner, das heißt wir schätzen sie in die falsche

Richtung ab. Das heißt, jetzt können wir nicht einfach die minus 1 weglassen, das schätzen

sie in die falsche Richtung ab. Wir müssen jetzt ein bisschen was clevereres überlegen.

Und eine clevere Möglichkeit ist die folgende. Für alle k größer als 1 gilt 1 ist kleiner

als k Quadrat. So viel ist klar. Das ist sozusagen einfach nur das, was wir quadriert. Daraus

folgt minus 1 ist größer als minus k Quadrat. Und jetzt können wir hier diese minus 1, die

hier drin steht, abschätzen. Und weil diese Zahl im Nenner steht, dreht sich das Ungleichheitszeichen

in die richtige Richtung um, die wir haben wollen. Das bedeutet, für alle k größer

als 1 gilt 1 durch 4k Quadrat minus 1 ist kleiner als 1 durch 4k Quadrat minus k Quadrat.

Und das ist dann 1 durch 3k Quadrat. Und jetzt sind wir quasi fertig. Das bedeutet, weil

ein Drittel Summe k gleich 1 bis unendlich über 1 durch k Quadrat konvergiert, konvergiert

auch die dadurch majorisierte Reihe k gleich 1 bis unendlich von 1 über 4 Quadrat minus

1, weil 1 durch 4k Quadrat minus 1 kleiner als 1 durch 3k Quadrat ist. Das ist genau

das Mehrrandenkriterium. Wir haben diese Summanden hier abgeschätzt zu einer konvergenten Reihe,

zu Summanden einer konvergenten Reihe. Und damit ist die Reihe an sich ebenfalls konvergent.

Diese Reihe kann man auch auf andere Art und Weise analysieren. Und das ist nämlich eine

der wenigen Reihen, die man tatsächlich ausrechnen kann, also deren numerisches Ergebnis man ausrechnen

kann. Dazu sieht man 1 durch 4k Quadrat minus 1 ist das gleiche wie 1 durch 2k minus 1

mal 1 durch 2k plus 1. Das sieht man, indem man die beiden wieder zusammen multipliziert.

Das ist wieder die dritte binomische Formel. Ich habe das Gefühl, diese Vorlesung steht

zu 90 Prozent aus der dritten binomischen Formel. Und da bekommt man dann 4 Quadrat minus 1 plus

1 und so weiter und am Schluss minus 1. Das bedeutet, jetzt können wir uns die Partialsummen

anschauen. Die sehen so aus. Ich nenne sie jetzt S Groß n. Das ist die Summe von 1 bis

Groß n. 1 durch 4k Quadrat minus 1. Das ist natürlich die Summe von k gleich 1 bis n von

1 durch 2k minus 1 mal 1 durch 2k plus 1. Und dieses Produkt hier, wenn man jetzt so ein

Produkt hinschreiben kann, dann kann man das in eine Summe von Brüchen zerlegen. Und dieser

Ansatz ist dieser folgende. Dieser Ansatz heißt allgemein Partialbruchzerlegung. Das werden wir bei

Integration noch häufiger sehen, deswegen erkläre ich das hier noch ganz kurz. Dann

bei der Integration dann mit ein bisschen mehr Details. Der Ansatz ist 1 durch 4 Quadrat

minus 1 ist gleich a durch 2k minus 1 plus b durch 2k plus 1. Wir wissen aktuell noch

überhaupt nicht, warum das Sinn ergeben sollte. Wir behaupten jetzt einfach mal, es gibt Zahlen

a und b, die man wählen kann, sodass die Summe von diesen beiden Brüchen in dieser Form hier

geschrieben werden kann. Das ist ein Ansatz. Es kann immer noch sein, dass es nicht funktioniert.

Wir machen diesen Ansatz einfach mal. Jetzt bringen wir diese beiden Brüche auf einen Nenner.

Das heißt a durch 2k minus 1 plus b durch 2k plus 1. Das ist a mal 2k plus 1 plus b mal 2k

minus 1 durch das Produkt von beiden. Das Produkt von beiden ist, wie wir wissen, 4k Quadrat minus 1.