Ja, da können wir anfangen. Schönen guten Tag, meine Damen und Herren. Wir haben ja beim letzten Mal

angefangen, uns mit der Lösung des Eigenwertproblems zu befassen und wollen noch mal ganz kurz ein bisschen

überhaupt auf Eigenwertprobleme eingehen. Zunächst einmal kann man die klassifizieren.

Ich kürze Eigenwerte mit ew ab. Und zwar gibt es verschiedene Typen. Der Standardeigenwertproblem

ist, wenn man nur die ewp... Ich suche die Eigenwerte einer Matrix. Dann habe ich a minus lambda i mal x

ist gleich der Nullvektor. Das heißt, ich suche eigentlich das Ausmütze a mal x ist gleich lambda

mal x. Wenn ich das alles auf eine Seite bringe, habe ich das hier. Das heißt, ich suche Vektoren x,

für die die Projektion oder die lineare Abbildung mit der Matrix a einfach auf ein Vielfaches des

Vektors selber führt. Ich habe eine lineare Abbildung a mal x. Und die bildet sozusagen

den Vektor auf sich selbst ab, aber irgendwie skaliert mit einem lambda. Das sind sozusagen

die Vektoren, für die das funktioniert. Das sind halt die Eigenvektoren dieser Matrix,

bei denen diese Projektion bloß eine skalare Änderung ist. Und die skalaren Skalierungsfaktoren

sind halt die Lambdas an der Stelle. Wenn ich das umformuliere, habe ich dieses Eigenwertproblem.

Gut, jetzt sehe ich, für den Nullvektor gilt das natürlich immer trivial. Also wenn ich hier

null a mal null ist auch irgendwie lambda mal null immer. Aber das ist natürlich nicht das,

was man sehen will. Das ist eine triviale Lösung und nicht triviale Lösung. x ungleich null,

sehe ich in dieser Form ganz gut. Kann ich halt nur haben, wenn hier die Determinante dieser

Matrix a minus lambda i null wird. Also wenn diese Koeffizientenmatrix da vorne singulär wird.

Gut, das ist sozusagen das Standard-Eigenwert-Problem und davon gibt es natürlich jetzt Varianten. Es

gibt das sogenannte verallgemeinerte Eigenwert-Problem. Ist, wenn ich das nicht hier die

Einheitsmatrix steht, sondern ich habe hier a minus zum Beispiel lambda b mal x gleich null.

Irgendwas in dieser Form und rein theoretisch kann ich das jetzt immer noch weiter treiben. Ich kann

natürlich das noch weiter verallgemeinern zu einem polynomialen. Ist das richtig? Egal. Also

Polynomeigenwert-Problem. Ich könnte irgendwas, muss auch nicht die Minus, das könnte auch ein Plus

stehen hier. Ich könnte hier schreiben lambda a1 plus lambda Quadrat a2 plus und so weiter gleich

hier mal x. Gleich null. Das könnte man beliebig erweitern. Die Lösung dieser Probleme wird immer

schwieriger. Das ist relativ simpel numerisch. Wenn die Matrix a noch halbwegs gutmütig ist,

weiß man was da rauskommen soll. Für das verallgemeinerte Eigenwert-Problem geht auch

noch ganz gut. Polynomiale Eigenwert-Probleme sind unübersichtlich. Da gibt es Theorie. Matlab kann

alle drei Fälle zum Beispiel lösen. Also ich gebe die Funktion EIC löst das und löst auch das.

Ja und dann gibt es eine spezielle Funktion POLI-EIC, was so ein Problem auch lösen kann.

Allerdings steigt der Aufwand stark an und sie können, ich weiß nicht, ich habe nie versucht bis

zu wie viel Freiheitsgrad, zu welcher Größe das vernünftige Ergebnis liefert. Ich schätze mal,

wenn sie da viel mehr als 100 oder sowas mal 100 haben, ist es feierabend. Es gibt in Matlab

EICS, gibt es auch eine Version EICS oder EICS für SPARS-Matrizen speziell. Die ist dann sehr

viel effizienter, wenn ich tatsächlich dünn besiedelte Matrizen habe. Es gibt kein POLI-EICS.

Das setzt also immer volle Matrizen voraus, sodass man davon ausgehen kann, dass das für sehr große

Matrizen auch sehr schnell vorbei ist. Und wenn ich da ein Eigenwert-Problem, ich weiß nicht,

ob ich hier einen Polynomen von 6-7 Grad habe, keine Ahnung. Ich kenne allerdings auch keine

praktische Anwendung dafür. Also in der Strukturdynamik würde ein System, wenn ich sage,

das ist hier Steifigkeitsmatrix, Dämpfungsmatrix, Massenmatrix, wenn wir nachher sehen,

würde auf, also bestenfalls ein quadratisches Eigenwert-Problem führen. Und das kann man zumindest

für kleine Systeme damit noch lösen. Typischerweise, werden wir später sehen, verzichtet man auf die

Dämpfungsmatrix hier drin und dann entspricht das hier A plus Lambda Quadrat A2. Mehr oder weniger

diesem Beispiel, wenn ich das statt hier das Lambda Quadrat umbenenne in irgendeinem anderen

Parameter, ja, also der Lambda Strich, dann kann ich das im Prinzip als verallgemeinertes Eigenwert-Problem lösen.

Das wird also ganz häufig gemacht. Wir werden später noch sehen, warum. So ein bisschen,

sodass also normalerweise das verallgemeinerte Eigenwert-Problem, das ist, was man löst,

ja, was auch zumindest standardmäßig in allen FEE-Programmen sind, solche Löser drin.

Das verallgemeinerte