Als nächstes wollen wir uns mit Funktionfolgen beschäftigen und zwar mit Funktionfolgen von

differenzierbaren Funktionen. Wir haben schon gesehen, dass wenn wir eine Folge von stetigen

Funktionen haben, dass es dann manchmal so ist, dass wenn die Funktionfolge gegen eine Funktion

kommuniziert punktweise, dass dieser Punkt, dass dieser Punktweise Grenzwert manchmal stetiger ist

und manchmal nicht stetig ist. Und was wir gleichmäßige Konvergenz gebraucht haben, um Städigkeit

der Grenzfunktion sich zu stellen. Und es gibt eine sehr ähnliche Aussage für Differenzierbarkeit,

nämlich wenn wir eine Funktionfolge haben, wo jedes Folge die differenzierbare Funktion ist,

wo diese Folge punktweise gegen eine Grenzfunktion kommuniziert und wo die Folge der Ableitung

selber gleichmäßig konvergent ist. Wenn diese 3 Parteien erfüllt sind, dann ist die Grenzfunktion

die rauskommt auch differenzierbar und wir können auch die Ableitung dieser Grenzfunktion ausrechnen

als den Grenzwert der Ableitungen der Funktionfolge. Jetzt, wofür braucht man das? Also wir wissen,

dass solche Subpotenzreihen der Form k-gleich-unendlich ak mal x hoch k, das kann man sich schreiben als den

Grenzwert von n-gigunendlich der Partial, sondern k-gleich-0 bis n von ak mal x hoch k. Und die Frage

ist jetzt, ist das hier eine differenzierbare Funktion? Und das hier ist dann das richtige

Framework, um diese Frage zu beantworten. Das da, dieser Satz hier, der lief uns gerade eine

Aussage über die Differenzierbarkeit von einer Grenzfunktion, also zum Beispiel von einer Potenzreihe,

und wir müssen nur die Folge selbst, also die Partialsumme hier untersuchen. Es geht also folgemaßen,

wir schauen uns eine allgemeine Potenzreihe an von dieser Gestalt mit Konvergenzradius r, das heißt,

wir haben eigentlich eine Funktion von Partialsumme. Hier steht eigentlich unendlich,

das ist die Potenzreihe selbst und das sind die Partialsumme, wo wir nur bis n arbeiten.

Jetzt schauen wir uns diese drei Kriterien an. Jede Partialsumme selbst, die ist ja ein

Polynom, weil wir nur bis n summieren, das heißt, die hat eine größte Potenzier, damit ist es ein

Polynom. Jedes Polynom ist differenzierbar und wir können auch die Ableitung davon konkret

hinschreiben, die hat nämlich diese Formel. Wir wissen, dass die Partialsumme punktweise auf

dem Konvergenzbereich gegen eine Grenzfunktion kombinieren, nämlich natürlich gegen die

Potenzreihe und die Folge der Ableitungen, die ist wieder eine Potenzreihe, also das hier,

diese Sn-Strich von x, die sind wieder eine Potenzreihe und den Konvergenzreihe davon

können wir auch berechnen. Dieser Konvergenzradius, der hat tilde, ist eins durch den Liebessuperior

der Koffizienten hier und dieser Term davor, der stört überhaupt nicht. Das ist nämlich ein,

dieser Term, der kombiniert gegen eins, wenn wir unendlich, das heißt, wir bekommen den gleichen

Term, den wir auch beim Konvergenzradius der eigentlichen Potenzreihe stehen haben. Das ist

nach diesem Satz, den wir gerade zeitsbewiesen haben, den wir benutzen können, diesen Satz zur

Folge wissen wir, dass die Grenzfunktion, also die Potenzreihe eine differenzierbare Funktion ist und

die Ableitung ist einfach gegeben als die Potenzreihe über die liedweise abgeleiteten Terme. Also

das hier, das ist a k mal k mal x minus x null hoch k minus eins. Das heißt, man kann Potenzreihe

einfach ganz naiv ableiten, indem man sozusagen das hier reinzieht in die Summe, ich muss ein

Anführungszeichen, wobei das natürlich ein großes Problem eigentlich darstellt, weil das

reinziehen von Ableitungsoperatoren eine unendliche Reihe, das ist nicht einfach so erlaubt. Zwar können

wir Ableitungen in endlichen Summen reinziehen, aber eine Reihe hat ja einen Grenzwert hier drin,

also da ist ein Grenzwert, der hier n genügendlich schickt. Hier ist ein Grenzwert, der ein h gegen

null schickt und das ist hier rein zu ziehen, das ist das gleiche wie eine Vertauschung von zwei

verschiedenen Grenzwerten und da muss man immer sehr aufpassen. Das heißt, eigentlich muss man hier

aufpassen, aber wir dürfen Potenzreihe einfach liedweise ableiten, indem wir dieses d nach x hier

einziehen und dann hier diese einzelnen Terme ableiten. Das ist eigentlich sehr schön.

Wichtiges anderes Beispiel sind solche Potenzreihe wie die exponential Funktion, die sinus Funktion und die

cosus Funktion. Hier kann man sehr leicht nachrechnen, dass das Bild, das wir eigentlich schon gezeigt haben,

aber jetzt mit einem einfacheren Beweis, nämlich die Ableitung der E-Funktion ist die Ableitung

dieser Potenzreihe natürlich. Das ist die Potenzreihe mit die abgeleiteten Terme und x hoch k durch k

Funktien abgeleitet ist k mal x hoch k minus 1 durch k Fakultät. K durch k Fakultät ist k minus 1 Fakultät

hier im Dörner. Das heißt, wenn wir hier einen Index-Shift machen und nicht bei 1 anfangen, sondern 0 anfangen,