Hallo, wir machen jetzt weiter mit extrem stellen und mittelwert setzen und wir fangen

an mit der Definition, nämlich mit der Definition von lokalen oder relativ extremalen Stellen.

Also mit extrem ist immer gemeint, entweder maximal oder minimal. Also wenn wir es nicht

festlegen wollen, dann schreiben wir einfach extremal. Wir bezeichnen eine Funktion f,

die auf d definiert ist, d ist der Definitionsbereich der Funktion und ein Punkt x Stern im Definitionsbereich

heißt eine lokale oder eine relative maximale Stelle oder eine lokale oder eine relative

minimale Stelle, falls es ein Epsilon größer 0 gibt, sodass die Funktion im Wert x Stern

den größten Funktionswert annimmt, im Vergleich zu Punkten x, die in einer Umgebung um den

Punkt x Stern liegen. Also malen wir das mal, vielleicht so eine Funktion hier, das hier

könnte f sein und jetzt schauen wir uns mal hier diesen Punkt an, hier x Stern, ich mach

mal willkürlich irgendwo die Achse hin, x Stern ist hier und wie wir sehen, können wir

eine Umgebung finden, hier ist x Stern minus x, minus Epsilon, x Stern plus Epsilon und

für alle Punkte, die hier drin liegen, für alle Punkte x, zum Beispiel diesen Punkt x

hier, da gilt f von x ist kleiner als f von x Stern, was heißt tatsächlich ist dieser

Punkt x Stern eine lokale maximale Stelle. Hier haben wir eine lokale minimale Stelle

und an den Randpunkten hier haben wir jetzt gerade auch noch eine lokale maximale Stelle

und hier auch noch eine lokale maximale Stelle. Hier ist übrigens noch ein lokales Minimum.

Also hier können wir nicht nach links gehen, deswegen machen wir hier x Stern minus Epsilon,

x Stern plus Epsilon geschnitten mit d, wenn das hier das ganze d ist, also dieses Intervall

hier von a nach b, dann müssten wir jetzt hier nur a plus Epsilon uns anschauen und

wir würden sehen, dass es ein lokales Maximum ist. Eine globale maximale Stelle und eine

globale minimale Stelle ist ein Punkt x Stern, sodass f von x Stern größer als f von x ist

für alle Punkte aus dem ganzen Definitionsbereich. Für Minimalsstellen ist es dementsprechend

andersrum mit f von x Stern kleiner als f von x. Also typischerweise möchte man natürlich

immer globale maximale oder minimale haben, jetzt in Anderlungsfällen, also wenn man sich

dafür interessiert, was ist jetzt irgendwie der kürzeste Weg von a nach b zum Beispiel

oder die günstigste Art und Weise, dem maximal Profit zu machen, in irgendeiner wirtschaftlichen

Anbindung zum Beispiel, da möchte man immer das globale Maximum oder Minimum haben, aber

es ist leichter erstmal nur lokale Maxima und Minima zu finden, nämlich indem man folgenden

Satz hier benutzt. Wenn f eine differenzierbare Funktion ist, von d nach r und wenn x Stern

ein Punkt im Inneren von d ist und x Stern außerdem eine relativ extremale Stelle ist,

dann muss die Ableitung von f in diesem Punkt gleich 0 sein. Das heißt, je einmal folgende

Richtung extremale, daraus folgt kritischer Punkt oder kritische Stelle. Daraus folgt

nicht, dass kritische Stellen automatisch extremale sind. Und insbesondere brauchen wir

hier die Voraussetzung, dass f differenzierbar ist und dass wir einen inneren Punkt haben.

Warum? Jetzt gehen wir mal die einzelnen Bedingungen nochmal durch. Also der Satz sagt eigentlich

nur folgendes, wenn wir einen Punkt x Stern haben im Inneren von d, der keine kritische

Stelle ist, dann kann es kein lokales Extremum sein. Das heißt, wir können damit ausschließen,

welche Punkte extremale Stellen sein können. Wir können nur Dinge wegschmeißen. Wir können

sagen, wir brauchen nur kritische Stellen zu berücksichtigen, weil alle anderen können

keine lokalen Extremalstellen im Inneren sein. Jetzt können lokale Extremalstellen auch am

Rand liegen, wenn der Randpunkt zu dem Definitionsbereich gehört und auch wenn f' dort nicht 0 ist.

Das haben wir in unserer Skizze hier gesehen. Das ist ein lokales Maximum. In dem Fall ist

es sogar das globale Maximum. Die Funktion ist nirgendwo größer. Das ist wirklich der

größte Wert, den die Funktion annimmt. Aber das ist keine kritische Stelle, weil sie

nicht im Inneren des Definitionsbereichs liegt. Hier muss die Funktion sich nicht abflachen.

Das heißt, damit finden wir nur lokale Extremalstellen im Inneren des Definitionsbereichs.

Und zweitens, selbst im Inneren sind kritische Stellen nicht immer Extremalstellen, denn

die Funktion f von x ist gleich x auf 3. Die sieht so aus. Die hat bei x gleich 0 eine

waagerechte Tangente. Aber dieser Punkt ist kein Maximum, auch nicht lokal, sondern ein