Im letzten Video haben wir den Begriff der kompakten Mengen noch einmal wiederholt und

uns die wichtigsten Resultate für endlich dimensionale Vektorräume vor Augen geführt

und dann mit einem abschließenden Beispiel gesehen, dass sich diese Resultate leider

nicht auf unendlich dimensionale normierte Vektorräume übertragen lassen. Dazu hat

man ein Beispiel konstruiert, bei der wir eine Folge aus Einheitsvektoren gewählt haben,

deren Folgeglieder alle einen konstanten Abstand zueinander hatten und damit auch keine

konvigente Teilfolge besitzen konnten, was eines der Voraussetzungen ist, dafür, dass wir sagen,

eine Menge ist kompakt. Jetzt könnte man sagen, ja schade, das heißt, Kompaktheit in unendlich

dimensionalen Räumen funktioniert so nicht, aber das soll uns nicht ermutigen und darum wollen wir

in diesem Video uns damit beschäftigen, wie Kompaktheit in unendlich dimensionalen Vektorräumen

aussehen kann und welche Resultate man für eine kompakte Menge anwenden kann. Bevor wir dann mit

einem wichtigen Satz beginnen, dem sogenannten Kompaktheitsatz von Ries, wollen wir uns gleich

erstmal mit einem Hilfslemmer beschäftigen, das uns sagt, dass wir überhaupt Vektoren finden

können außerhalb von abgeschlossenen Unterräumen, die einen gewissen Abstand zu diesem Unterraum

haben. Das ist nicht so klar, denn wenn unser normierter Raum nicht eine Norm hat, die durch

ein Skalarprodukt induziert ist, so wie wir es uns schon häufig angeschaut haben, dann ist überhaupt

nicht klar, wie kann man überhaupt senkrechte Vektoren definieren. Wir haben kein Skalarprodukt,

das heißt, der Begriff der Orthogonalität ist vollkommen unklar und dazu müssen wir ein bisschen

arbeiten, um uns einen Hilfslemmer unter die Lupe zu nehmen, dass es uns erlaubt, solche Vektoren

überhaupt zu finden. Das heißt, in diesem Video beschäftigen wir uns heute mit Kompaktheit in

unendlich dimensionalen Räumen. Kompaktheit in unendlich dimensionalen normierten Vektorräumen.

Wir haben schon gesehen, dass der Satz von Heine Borel hier nicht mehr zieht. Das heißt,

wir schauen uns zuerst ein Hilfslemmer an, das nennt sich auch das Lämmer von Ries,

in Vorbereitung auf den Kompaktheitssatz von Ries.

Und wie ich gerade schon beschrieben habe, die Motivation ist die, dass wir in allgemeinen

unendlich dimensionalen normierten Vektorräumen kein Skalarprodukt erwarten können und darum der

Begriff eines Vektors, der orthogonal auf einem Unterraum steht, erstmal so nicht existiert. Und

was sagt uns dieser Satz? Also wir nehmen uns mal einen normierten Vektorraum vor,

der ist potenziell unendlich dimensional, hat kein Skalarprodukt. Das sei x ein normierter

Vektorraum. Und in diesem Vektorraum betrachten wir einen abgeschlossenen echten Unterraum,

der nicht der gesamte Raum ist. Den wollen wir mit u bezeichnen. U Teilmenge von x,

aber eben nicht x selber, deswegen mache ich ein durchgestrichenes Gleichheitszeichen.

Ein abgeschlossener echter Unterraum von x. Und wir geben uns eine Skalar vor,

das soll uns sozusagen den Abstand liefern, den wir benötigen zu diesem Unterraum. Also

sei außerdem ein Skalar, das nennen wir hier Delta, das soll echt zwischen 0 und 1 liegen.

Beliebig gewählt, aber fest. Das wird uns später im Kompaktheitssatz von Ries helfen zu verstehen,

wie unendliche Folgen aussehen können, die immer einen festen Abstand zu einem Unterraum

einnehmen können. Und was sagt uns jetzt dieses Lämmer? Das sagt uns, es existiert ein Element

der Einheitskugel des Raumes, das sozusagen ein Einheitsvektor ist und dieses Element hat

immer einen Abstand zu dem Unterraum, der größer gleich unserem vorgegebenen Delta ist. Also dann

existiert ein Element, das ist dieses Element y aus dem Vektorraum x, der Einheitskugel.

Das heißt, die Norm von diesem y ist 1, in der x-Norm ist gleich 1. Und der Abstand zu dem

Unterraum, der ist größer gleich Delta. Das ist also eine Existenzausgabe gesagt. Es gibt immer

so ein Element, das wir finden können. Das ist schon mal spannend. Und wie definieren wir den

Abstand von y zu diesem Unterraum? Wir sagen die Distanz von y zum abgeschlossenen Unterraum u.

Das definieren wir uns sozusagen als das Infimum. Das ist das kleinstmögliche u aus dem Unterraum,

für den diese Norm betrachtet wird. Das heißt, das ist dann der Abstand von y zu u in der Norm

gemessen. Also ich suche mir aus dem gesamten Unterraum sozusagen das naheliegendste u raus

an y. Und was gilt für dieses Infimum? Wir wissen nach dem Lemma von Riis, was wir gleich beweisen

werden, dass dieser Abstand immer größer gleich unserem vorgegebenen Wert Delta ist. Das muss man