quickerett. singlender

Museum

meine

Ich will kommen zur ersten Übung und die Idee heute ist, dass nicht ich das vorturne.

Ich kann natürlich auch die Lösung zeigen oder helfen, wenn es Probleme gibt, aber eigentlich

sollten Sie das vorführen und ich hatte ja sogar explizit die Aufgaben verteilt so von

links nach rechts. Ich weiß nicht, ob die Sitzordnung noch übereinstimmt. Nee, aber

vielleicht wissen ja die Leute noch, wer welche Aufgabe hatte. Das hoffe ich zumindest. Und

dann würden wir also loslegen. Gleich mit der ersten Aufgabe. Ich sage nochmal, was

die Aufgabe ist und dann kann derjenige, der die tatsächlich machen sollte, dann hier

vorführen. Die sollte auch relativ schnell gehen. So, da gucken wir uns also hier einen

vollständigen Verband an. Zwei vollständige Verbände. Und also eine Funktion von x nach

y. Und dann diese beiden f auf Englisch heißen die lower star und upper star. Also das ist

Bild- und Urbildfunktion. Die gehen eine Co-Variant und eine Contra-Variant. Und die eine, die

mapt also eine Teilmenge auf das Bild und die andere auf das Urbild unter f. Übrigens

schreibe ich sehr ungern hoch-Vinus-1, wenn ich Urbild meine, weil das liegt nahe, dass

das irgendwie ein Inversis von f ist, was überhaupt nicht der Fall ist. Also das ist halt die Funktion,

also das ist hier das Urbild unter f und das ist nicht irgendwie f hoch-minus-1, weil f

hoch-minus-1 ist halt in der Kategorientheorie für das Inverse eines Isomorphismus. Deswegen

schreibe ich dann nur hoch-minus. Gut. So, und zu zeigen mal jetzt, dass die stetig sind.

Zu zeigen, die sind stetig. Also die px und py sind ja sogar vollständige Verbände, also

insbesondere CPOs. Und jetzt, ja. So, wer hat denn das? Gut, dann wollen wir Mikrowechsel

machen. Moment, also erstmal das hier irgendwo anhaken und das irgendwie an den Kragen. Jetzt

geht es ihm an den Kragen. Kraitaburcht, bitte. Selbstverständlich. Naja, also das

einzige, was man dafür ein bisschen braucht, ist, dass man bei Mengen eben also die Vereinigung

rausziehen kann von Bildern. Also, dass wenn ich habe f an irgendeiner Vereinigung von

irgendwelchen ai, dann, ähm, ai, keine Ahnung, ist es... Also es geht jetzt, weil es eine

Vereinigung ist, bei Schnitten wird es natürlich nicht hinhauen. Und ja, ähm. Genau, und ja,

dann soll ich das jetzt nochmal explizit hinschreiben oder? Also wenn man eine Kette

hat, dann zieht man halt die Vereinigung rein oder raus und beim Urbild ist es ja im Endeffekt

dasselbe. Aber, also, willst du irgendjemand, dass ich es hinschreibe? Kann ich gern machen.

Okay, ja gut. Dann war es ja schon. Gut, dann kann ich es nochmal, ähm, das mal kurz,

also man muss sich das klar machen, ja, ja, dann hilft es. Na klar. Das war auch tatsächlich

die einfachste Aufgabe. Aber, falls man mal in die Verlegenheit kommt, das sind irgendwelchen

Klausuren oder so, mal vorzurechnen, machen wir das vielleicht doch mal für das, für

welches denn? Für das Urbild explizit, dann ist es aber auch ein Vierzeiler. Ähm, also

sozusagen zwei, äh, wenn ich jetzt eine Kette habe, Kette in PY, so eine aufsteigende Kette,

wobei das ist eigentlich egal, ja, also, ähm, die sind nicht nur stetig bezüglich

Ketten, sondern bezüglich beliebiger Suprema, also beliebiger Vereinigung, also, dass das

eine Kette ist, spielt eigentlich keine Rolle. Das könnte eine beliebige Familie von Timing

sein. Das sieht man auch sofort am Beweis, wenn man die macht, dann, äh, dann sieht

man, da wird nirgends benutzt, dass das eine Kette ist. So, also, wann ist jetzt so ein,

ähm, so ein Element in dieser Menge drin und jetzt x-t man das einfach durch, ja. Also,

das ist dann quasi nochmal der Beweis, dass f, in diesem Falle ist es Urbilder, aber mit

Bildern geht das genauso, so ein Vierzeiler. So, genau, dann wenn. So, jetzt benutzt man

also die Definition von dem f-Stern, ich muss mal ein bisschen runterschieben hier, äh.

So, also das ist der Fall, wenn fx in dem drin ist, was da unterm Stern steht, ja, das

ist Definition von Urbild, also fx in der Vereinigung von dem bn. Das ist die Definition

von f-Stern. Dieses genau dann wenn. So, jetzt geht's weiter. Das ist genau dann der Fall,

weil das eine Vereinigung ist, wenn es in einem der, äh, Vereinigten mengen liegt. Also,