In diesem Video werden wir uns den Faktorisierungssatz für reelle

Polynome anschauen, denn leider bei reellen Polynomen ist es so, dass eine Zerlegung in

Linearfaktoren, wie in der letzten Vorlesung besprochen, nicht existiert. Das heißt,

wir können im Allgemeinen nicht davon ausgehen, dass sich ein Polynom zerlegen lässt in die Form,

wie hier in diesem Kasten angegeben. Das heißt, solch eine Linearfaktorzerlegung existiert nur

über dem Ring der komplexen Polynome und nicht über den reellen. Dennoch kommen wir schon ziemlich

dicht dran und das besagt nämlich eben jener Faktorisierungsatz, den wir jetzt in Folge

formulieren werden. Das heißt, wir machen den Satz Faktorisierung von reellen Polynomen.

Und der sagt uns im Endeffekt, dass sich jedes reelle Polynom in ein Produkt aus Linearen,

aus Linearfaktoren, also Polynomen von Grad 1 und quadratischen Polynomen zerlegen lässt. Und

diese quadratischen Polynomen sind gerade die, die ihre Nullstellen nicht mehr in R, sondern in C

haben. Also wir formulieren den Satz, sei P aus dem Ring der reellen Polynome und wir nehmen an,

es ist normiert. Das macht es einfacher, mit den Leitkoeffizienten zu arbeiten. Und wir sagen,

der Grad dieses Polynoms ist N. Also der Degree von P ist gleich N. Dann sagt dieser Satz, es

existieren bestimmte Koeffizienten, die alle reellwertig sind. Und zwar sind diese Koeffizienten

gerade a1 bis a klein l aus R. Dann gibt es Koeffizienten b1 bis bl aus R. Und ich schreibe

schon mal dahinter, das werden im Prinzip die Koeffizienten der quadratischen Polynome sein.

Und es gibt natürlich noch für die Linearfaktoren Koeffizienten, die nennen wir Ci und da haben wir

C1 bis Cm aus R. Das sind die Linearfaktoren. Und es gilt folgender Zusammenhang zwischen diesen

Indizes. Und zwar können wir feststellen, dass der Grad N sich zerlegen lässt in 2l plus m. Also

2l plus m ergibt N. Das heißt, wenn wir uns das Ganze überlegen, wie macht das Sinn? Es gibt also

N Nullstellen insgesamt über C. N Nullstellen, NC. Das M, das sind gerade die reellen Nullstellen,

weil die können wir als Linearfaktoren rausziehen. Und das L, das werden gerade die komplexen sein.

Und 2 eben aus dem Lämmer des letzten Videos, wir haben schon gesehen, komplexe Nullstellen

treten immer in Paaren auf. Deswegen auch der Faktor 2. Das sind die echt komplexen Nullstellen.

Und wir können noch etwas weiteres beobachten, nämlich für die Koeffizienten der quadratischen

Polynome gilt das ai² minus bi kleiner Null ist. Das werden gerade gleich die Koeffizienten sein

der quadratischen Polynome. Und sie müssen sich unter diesem Term quasi den Radikanten vorstellen.

Das heißt, das hier ist der Radikant für die PQ Formel, bei der sie Nullstellen ausrechnen.

Und wenn das kleiner Null ist, dann wissen sie, es steht was negatives unter der Wurzel und es

folgt direkt, dass da zwei komplexe Nullstellen rauskommen. Okay, es gibt solche Koeffizienten,

sodass, das ist jetzt die Hauptaussage dieses Satzes, sodass sich das Polynom faktorisieren

lässt. Polynom P faktorisieren lässt in folgende Form. Na, schon gesagt, das zerfällt jetzt in

Linearfaktoren und quadratische Polynome. Das heißt, wir können P von x immer schreiben als

solch eine Gestalt. Wir haben das Produkt von i gleich 1 bis l, das war die Anzahl der quadratischen

Polynome, die von folgender Form sind, die sind normiert, nämlich x² minus 2aix plus bi. Und das

Ganze können wir multiplizieren, nämlich mit den Linearfaktoren. Hier werden wir als Index j

gleich 1 bis m, das sind die reellen Nullstellen x minus cj. Das ist eine sehr schöne Aussage,

wir zerfallen nicht ganz in Linearfaktoren über R, doch zumindest sind wir dicht dran,

wir zerfallen in Linearfaktoren und quadratische Polynome, die nicht mehr weiter zergliedert werden

können, da sie komplexe Nullstellen haben. Den Beweis können wir vielleicht auch noch kurz

hinschreiben, der ist auch nicht besonders schwierig oder lang. Also nach dem Fundamentalsatz der

Algebra können wir unser Polynom P auf jeden Fall schon mal in den Linearfaktoren zerlegen über c.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra können wir P zerlegen in Linearfaktoren der folgenden

Gestalt. Wir können jetzt schreiben P von x ist gerade gleich das Produkt von i gleich 1 bis n,

also bis zum Grad des Polynoms x minus xi. Jetzt können wir diese ganzen Faktoren mal

auseinanderziehen und uns im Prinzip die rausnehmen, die reelle Nullstellen sind. Das heißt wir haben

hier ein Produkt, das läuft von i gleich 1 bis m, mit m echt kleiner n oder kleiner gleich n,

das sind die x minus xi und ich schreibe schon mal dazu, das sind die reellen Nullstellen.

Das ganze multiplizieren wir mit den restlichen Faktoren, die sind im Prinzip komplex und sehen