Hallo, das nächste Thema ist Städigkeit von Funktionen im R hoch N.

Und damit ist gemeint, dass sie auch Werte im R hoch N oder R hoch M haben können.

Zum Beispiel können wir uns hier diese Funktion anschauen. Die hängt von 3 variablen ab, x1, x2, x3.

Und das Bild davon ist jetzt im R2, also ein zweitimitale Vektor.

Es ist ein bisschen schwierig, dem eine gute Deutin zu geben, aber als mathematisches Objekt ist es auf jeden Fall gut definiert.

Zu jedem Triple x1, x2, x3 bekommen wir ein Tupel Bild zurück.

Jetzt kann man sich natürlich fragen, ist diese Funktion jetzt stetig und was bedeutet überhaupt Stetigkeit?

Wir haben Stetigkeit zuerst mit einer Epsilon-Delta-Videom definiert und dann haben wir es ersetzt

durch ein Folgenkriterium, was equivalent dazu ist.

Das heißt, wir können auch hier den Begriff der Stetigkeit von solchen Funktionen zwischen zwei nomierten Vektorräumen,

V und V, also Funktion f von jetzt der Definitionsmenge d, Teilmenge von V nach V, definieren, folgemaßen.

Diese Funktion heißt stetig an der Stelle x Stern, wenn für jeden noch so kleinen Abstand Epsilon ein Delta existiert,

sodass für alle x, die sich maximal um Delta von x Stern unterscheiden, auch die Variation im Bild, also f von x,

minus f von x Stern um maximal Epsilon unterscheidet.

Wobei wir jetzt hier die richtigen Normen einsetzen müssen.

In V haben wir die V-Normen und in V haben wir die V-Normen.

Was genau die V- und die W-Normen sind, das muss man natürlich jedes Mal überlegen, was man hier wählen möchte.

Wenn die Vektorräume endlich dimensional sind, wissen wir, dass es egal ist, welche wir nehmen.

Oder wir können auch sagen, die Funktion ist genau dann stetig, wenn für jede Folge xn, für die gilt, dass xn gegen x Stern konvergiert,

auch das Bild f von xn gegen das Bild f von x Stern konvergiert.

Und beides ist äquivalent, kann man genauso zeigen wie im Einlimit-Design-Fall.

Eine stetige Funktion ist eine Funktion, die an allen Stellen auf ihrem Definitionsbereich stetig ist.

Im R hoch N ist es definitiv einfacher mit dem vollen Kriterium zu arbeiten.

Und das werden wir dann an ein paar Beispielen gleich machen.

Was habe ich schon gesagt, wenn V und oder W ähnlich dimensional sind,

dann kann man die Normen auf diesen Vektorraum durch eine beliebige andere Norma setzen und der Stetigkeitsbegriff bleibt der gleiche.

Wenn der Bildraum der R hoch M ist, dann kann man mit der genau gleichen Begründung wie vorhin jede äquivalente Norm betrachten.

Oder man kann auch einfach nicht die Komponentenweise Sachen anschauen.

Das heißt, man muss nur zeigen, dass jede von diesen Komponenten von f, also f von x ist ein, ich nenne das mal f1 von x bis fN von x,

das ist jetzt hier ein Vektor von M von x, ein Vektor im R hoch M.

Man muss sich nur anschauen, ob diese ganzen Komponentenfunktionen hier stetige Funktionen sind.

Das heißt, eine Funktion von irgendeinem D nach R hoch M ist genauer und stetig, wenn alle Komponentenfunktionen fj stetig sind.

Das heißt, Funktionen mit Werten R hoch M, die kann man zurückführen auf das Überprüfen von stetigen Funktionen, die scalarwertig sind.

Also es ist nicht wirklich schwieriger, diese Funktionen, wenn man uns überlegen wollt, ob die stetig ist, dann reicht es aus,

sich die Funktionen anzuschauen, die x1, x2, x3 auf diese Komponente schickt, ob die stetig ist und ob die Funktion, die x1, x2, x3 auf diese Funktion schickt.

Und wenn beide Komponentenfunktionen stetig sind, dann ist auch diese komplizierte zusammengesetzte Funktion stetig.

Was natürlich sehr intuitiv und eigentlich klar ist und so weiter, aber jetzt haben wir uns auch konkret überlegt, dass es stimmt.

Die gleichen Rechenregeln zur Verknüpfung, Verkettung von Stetigen Funktionen, also Summen von Stetigen Funktionen und so weiter, das gilt alles genau gleich und können wir auch so benutzen.

Machen wir mal ein Beispiel. Jetzt haben wir eine konkrete Funktion, die ist einfach nur reellwertig.

Wir wissen, es ist nicht schwieriger, höherdimensionalere Bilder zu überprüfen. Man muss ja einfach nur auf die einzelnen Komponentenfunktionen zurückspielen.

Das heißt, wir gucken uns jetzt einfach nur den Fall an von Funktion von r hoch m nach r, weil wir andere Sachen auch zurückführen können.

Diese Funktion, die sieht so aus, f von x, y, ist, wenn x gleich 0 ist, gleich y.

Und wenn x ungleich 0 ist, dann ist es Sinus von x, y durch x.

Jetzt kann man sich fragen, ist die hier stetig? Sieht ja schon so ein bisschen knifflig aus, weil hier so eine Durch-x-Pol-Stelle ist.

Wir müssen also zeigen, also die Behauptung ist, die Funktion ist tatsächlich stetig, wir müssen also zeigen, dass alle Grenzwerte funktionieren.

Wir müssen nur Stetigkeit in 0, y für y aus r zeigen,

weil die Funktion Sinus von x, y durch x, die ist natürlich stetig, also überall sonst, weil es eine Verkettung und Verknüpfung von stetigen Funktionen ist.

Also das ist ein Produkt von zwei stetigen Funktionen, Sinus von einer stetigen Funktion, geteilt durch eine stetige Funktion,

weil wenn x ungleich 0 ist, dann ist es auch 1 durch x eine stetige Funktion.

Das Interessante ist nur, was hier passiert bei dieser Pol-Stelle, das heißt sei also eine Folge xn, yn, das ist eine Folge im R2, und ich konvergiere gegen 0, y.