Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, guten Morgen zusammen. Ich habe hier nochmal angeschrieben, was jetzt die Formulierung war,

mit der wir das letzte Mal geendet hatten. Wir hatten gesehen, wenn man es eher von einem

strukturelleren Gesichtspunkt sieht und nicht so sehr auf diese ganzen Jordanblöcke schaut,

die man natürlich, was man natürlich machen muss, wenn man konkret dann für eine Matrix,

die Jordan-Normalform ausrechnen möchte, dann sieht man, was wir hier eigentlich gemacht haben,

ist eine Jordanzerlegung der Matrix beziehungsweise eben eines linearen Operators. Das heißt,

wir haben die Matrix beziehungsweise ein Operator dargestellt als eine Summe einer diagonalisierbaren

Matrix und einer nilpotenten Matrix. Auf der Ebene der Jordan-Normalform ist das einfach

der Diagonalanteil und das ist der Anteil der Nullen und Einsen auf der oberen Nebendiagonalen,

das heißt die Ansammlung der Jordanblöcke zum Eigenwert Null. Auf der Ebene der allgemeinen

Matrizen über C oder über einen algebraisch abgeschlossenen Körper ist das einfach dann

rücktransformiert der entsprechende Matrizenanteil hier und der entsprechende Matrizenanteil hier.

Wenn wir das für Matrizen machen können, können wir es genauso für endlich dimensionale,

allgemein für endlich dimensionale K-Vektorräume, K-Algebra abgeschlossen und für allgemeine

Endomorphismen, also Homomorphismen von V in sich selbst machen. Diese Aussage hier ist also

nichts Neues, das ist nur die alte Aussage jetzt im Operatorengewand. Ich schreibe sie aber noch,

ich werde noch mal unabhängig sozusagen einen koordinatenfreien Beweis dafür hinschreiben,

weil das hilfreich ist die weiteren Aussagen zu zeigen und die weiteren Aussagen enden

schließlich damit, dass es das letztendliche Ziel ist, das zu zeigen, dass eine Jordanzerlegung in

diesem Sinne, das heißt ich stelle den Operator da als Summe eines diagonalisierbaren Operators,

eines guten Operators und eines nilpotenten Operators, also einen der aber einer gewissen

Potenz dann unter der Potenz verschwindet und zusätzlich sind diese beiden Anteile

kommutativ. Wenn ich das als Jordanzerlegung verstehe, dann ist die Jordanzerlegung eindeutig,

das ist das, was wir hier am Schluss dann insbesondere verifizieren wollen. Also schreiben

wir sozusagen jetzt noch mal den Existenzbeweis hin, den wir schon auf der Ebene der Matrizen

gesehen haben. Wir zerlegen also den Raum V und wir sehen, wir brauchen gar nicht die Detailheit

der Jordan-Darstellung, die brauchen wir gar nicht, wir brauchen wirklich sozusagen nur die Ebene

der Blockdiagonalisierbarkeit, wir brauchen also nur die Aussage, dass wir den Raum V zerlegen

können in sagen wir K viele Unterräume, das sind gerade die, die dann in einzelnen Blöcken

entsprechen, die jeweils V invariant sind. Mit solchen Zerlegungen erstmal aus zwei Summanden

und darauf aufbauen dann eben aus beliebig vielendlichen Summanden haben wir uns ja schon

seit Urzeiten beschäftigt und wir wissen Direktheit der Summe heißt nun gerade, ich kann jedes

Element aus dem Gesamtraum auf eine eindeutige Weise als eine solche Summe darstellen, das heißt

also es ist auch wohl definiert, wenn ich sage, ich habe ein beliebiges Element aus V und ich nehme

den Summanden, der sozusagen den Summanden mit dem Index I, der zum Unterraum UI gehört. Auf

diese Weise definiere ich also eine Abbildung, diese Abbildung ist eine Projektion, ist klar,

wenn ich auf dem Unterraum schon bin, dann nehme ich das Element selbst, diese Projektionen haben

weitere Eigenschaften, die wir uns schon angeschaut haben und mit diesen Projektionen will ich jetzt

mal arbeiten. Also noch mal zur Erinnerung, was sind die, diese Darstellung haben wir, die UI sind

eben gerade die Haupträume, also die Kerne von Phi minus Lambda I hoch Ri, wo wir mittlerweile

wissen, wir könnten hier das Ri auch ersetzen durch die Vielfachheit, die die betreffende

Nullstelle Lambda I im Minimalpolynom hat, also eine Zahl, die eventuell, die auf jeden Fall kleiner

gleich Ri ist, eventuell auch kleiner als Ri ist. So, die Lambda I sollen dann wie immer die

Paarweise verschiedenen Eigenwerte bezeichnen. Also Pi sei wie gesagt von V nach UI, die durch

die Zerlegung, wie gerade besprochen, definierte Projektion. Auf der Ebene der Vektoren heißt

das einfach, ich nehme nur das betreffende Stückchen raus, was zu dem Block gehört,

dann fülle alles andere mit Null auf. So, mit diesen Begriffsbildungen können wir jetzt die

Konstruktion, die wir auf der Ebene der Matrizen schon gemacht haben, jetzt noch mal hinschreiben.

Also ich schreibe noch mal hin, was sind die Pi, die Pi sind also dadurch definiert, Pi von einem