So meine Damen und Herren, fangen wir an. Wir haben uns beim letzten Mal ja angefangen mit den

Massenmatrizen zu beschäftigen. Also wir hatten uns angeschaut, zunächst habe ich es einfach

angegeben, den Unterschied zwischen der konsistenten oder der Punktmassenmatrix.

Ganz normalerweise die konsistente Massenmatrix ist das, was ich aus der FE-Diskritisierung habe.

Ich habe hier meine Ansatzfunktion H transponiert mal H, die Matrix der Formfunktion und dann steht

hier irgendwie roh über das Volumen des Elementes zu integrieren und wenn ich jetzt einfach da die

Ansatzfunktion einsetze, das Integral löse, dann kriege ich hier die konsistente Massenmatrix

heraus, das was aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebung mehr oder weniger folgt.

Also zum Beispiel Stab hier, dann ist das das Integral über die Länge, aus dem Integral

habe ich hier H transponiert H, aus dem DV mache ich ein ADX, dann steht hier roh mal ADX für den

1D-Fallstab und dann kommt hier die Massenmatrix raus, ist roh mal A mal L sechstel 2,1,1,2.

Das wäre die konsistente Massenmatrix, einfach aus dem Integral dieser Formfunktion,

wobei ich jetzt einen bilinearen Stab angenommen habe hier mit zwei Knoten und das H entsprechend

aussieht als die Formfunktion eins minus X durch L und X durch L.

Roh mal A mal L, da ist die Dichte, mal Querschnittsfläche, hier ist konstant angenommen, mal die Länge

des Stabs hier, dann ist roh mal A mal L die Masse des Stabs und dann habe ich diese Massenmatrix,

die halt nur zwei Kreuz zwei ist, weil ich nur zwei Freiheitsgrade habe, also ich betrachte

nur die Längsbewegung, die einzigen Freiheitsgrade sind hier U2 und U1.

Gut, jetzt hatten wir am letzten Mal gesagt, es gibt auch eine Punktmassenmatrix, bei der

man sozusagen die Masse des Elementes, in diesem Fall des Stabs, wenn wir beim Stabbleiben

einfach auf die Knoten häuft, also man sagt, ich habe Punktmassen auf den Knoten und dazwischen

einen masselosen Stab, also ich habe für den Stab ein Gebilde, bei dem ich hier zwei Massenpunkte

habe, dazwischen eine masselose Feder und hier dieses.

Die Feder ist sozusagen die Steifigkeitsmatrix des Stabes und ich verteile die Masse auf

die beiden Punkte hier, gut, für den Stab ist das offensichtlich, wie das auszusehen

hat, die gesamte Masse, klein M hier, ist rho mal a mal L und dann ist offensichtlich natürlich,

wie verteile ich die Masse auf zwei Punkte, indem jeder Punkt die Hälfte kriegt, der

Stab ist irgendwie symmetrisch, also habe ich hier M halbe und hier M halbe und die

Punktmassenmatrix, ich schreibe mal mp hier hin, wäre rho mal a mal L halbe 1 0 0 1, das

wäre sozusagen die Punktmassenmatrix.

Die kann man hier für den Stab aus der Anschauung sozusagen gewinnen, für andere Fälle klappt

das nicht immer so einfach, klar bei einem Dreieckselement oder so kriegt jeder Knoten

ein Drittel, bei einem Vier-Eckselement kriegt jeder Knoten ein Viertel, aber bei höheren

Ansatzfunktionen und dergleichen geht das nicht mehr, ich habe ein 8 Knoten Scheibenelement,

ein Serendipity-Element, da kann ich nicht jedem Knoten einen Achtel geben, das ist nicht

die richtige Punktmassenmatrix.

Es gibt systematische Ansätze, wie man das machen kann und da wollen wir uns jetzt einen

anschauen, der allerdings, wie man leider feststellen muss, auch nur gut funktioniert

für lineare Ansätze.

Also, wenn man das nicht aus der Anschauung machen möchte, gibt es verschiedene Möglichkeiten

dieses Lamping, diese Häufung auf die Knoten durchzuführen.

Punktmassen, da gibt es heuristische Verfahren, ich kann irgendwie die Zeilensummen hier bilden

oder dann noch Gewichten mit dem Mittleren, also mit dem Diagonalelement und was weiß

ich.

Eine relativ elegante Methode, die aber halt nicht immer super funktioniert, ist, ich benutze

eine Lobato-Integration.

Also die Elementmatrizen, also Steifigkeitsmatrix und Massenmatrix in einem FE-Code werden

typischerweise numerisch integriert, hier für den Stab kann ich diese Integrale von Hand

lösen natürlich, da würde man das nicht numerisch machen, aber für ein isoparametrisches

4-8-Knoten-Element, was irgendwie nicht rechteckig ist, sondern irgendwie verzerrt ist, hatten