Wir haben uns in den letzten Vorlesungen mit der Passongleichung beschäftigt.

Dann knüpfen wir auch heute an, also im allgemeinen Fall, wie das Problem la place,

la place u gleich f in einem Gebiet omega, was im Falle mit Randwerten u gleich g auf dem Rand von

omega. Wir nennen das auch das sogenannte Dirichlet-Problem. Nur ganz kurz, das kommt

später noch deutlich genau, wir können natürlich auch andere Randwerte stellen. Eine Möglichkeit

wäre das Problem mit sogenannten Neumannrandwerten zu betrachten, also Normalableitung von u gleich g.

Dann sprechen wir vom Neumannproblem. Wir sehen hier aber sofort einen kleinen

Unterschied. Wenn wir hier zur Lösung eine Konstante dazu addieren, dann bleibt das eine

Lösung. Das heißt, hier haben wir im Allgemeinen keine Eindeutigkeit der Lösung, die es nur bis

auf eine Konstante bestimmt, weil im Prinzip ja nur Ableitungen von u vorkommen. Beim Dirichlet-Problem

ist durch den Randwert auch die Konstante eindeutig bestimmt. Das Neumannproblem hat umgekehrt auch

eine Bedingung an die Lösung. Wir können uns das grob vorstellen wie ein lineares Gleichungssystem.

Wenn wir ax gleich b haben im Rn und der Rang von a ist nicht voll, dann ist natürlich nicht für

jedes b das Problem lösbar. Wenn der Rang von a sagen wir n-1 ist, dann gibt es auch nur einen

n-1 dimensionalen Teilraum von b, von rechten Seiten b, für die das Problem lösbar ist.

Wir haben eine einfache Lösungsbedingung, wenn y eine Lösung von a transponiert y gleich 0 ist.

Sie machen natürlich auch y transponiert a ist gleich 0. Also wenn ich die Gleichung nehme und ich

multipliziere eskalar ein y drauf, also y transponiert ax, das ist dann 0. Das ist dann y transponiert b.

Das heißt, kennen wir aus der Linie ein algebra einfache Lösbarkeitsbedingungen für alle

Elemente im Nullraum von a transponiert, muss die rechte Seite orthogonal auf diese Elemente

stehen. Also anders ausgedrückt b ist im Normalkomplement des Nullraums von a transponiert.

Das ist die endlich dimensionale Version. Jetzt können wir uns vorstellen, vielleicht gibt es hier

was ähnliches für das Neumannproblem. Da haben wir auch einen eindimensionalen Nullraum. Die Frage

ist, was ist a transponiert? Die Frage stellt sich auch bei Dirichlet Problem.

Und die formale Antwort zumindest gibt uns wieder der Satz von Gauss. Was wir jetzt verwenden zunächst

mal ist ein L2-Skalarprodukt. Wir werden später in der Vorlesung sehen, warum das sinnvoll ist und

wie wir das mathematisch vernünftig formulieren können. Jetzt nehmen wir mal an, alle Lösungen sind

oder alle Funktionen, die vorkommen sind C2. Dann dürfen wir auch alles so oft differenzieren

und integrieren, wie wir es wollen. Starten wir mal von Dirichlet Problem minus laplace u ist

gleich f. Wenn ich das mit einer Funktion v multipliziere, dann gilt das natürlich immer noch

für alle v, sagen wir mal in C2. Wenn ich jetzt das L2-Skalarprodukt verwende, habe ich hier

sozusagen Integral von minus laplace u mal v ist Integral von f mal v. Wenn ich jetzt so tue,

wie wenn a jetzt nicht eine Matrix ist, sondern der lineare Operator minus laplace, dann habe ich

hier so etwas wie minus laplace u v im L2-Skalarprodukt. Also hier eigentlich das

Skalarprodukt von a u mit v. Das entspricht dem y transponiert mal ax im Rn und auf der rechten

Seite habe ich ein Skalarprodukt von f mit v. Jetzt hätten wir gerne so etwas wie den adiogierten

Operator, das heißt wir hätten gerne eigentlich u mit irgendeinem Operator von v. Das heißt wir

müssen also partiell integrieren, damit wir die Ableitungen darüber bekommen. Wenn wir das machen,

das Integral von minus laplace u mit v, das ist dann natürlich dasselbe mit partieller

Integration Gradient u Gradient v in Omega minus ein Randintegral von Gradient u mal Normalvektor,

also die u nach dn mal v. Das kann man wieder mit dem Satz von Gauss herleiten, lasse ich jetzt

nochmal als Übung, genauso wie letzte Woche. Im Prinzip ist das, was ich hier verwende,

eigentlich die entsprechende Formel für die mehrdimensionale partielle Integration. Letzte

Woche haben wir das immer noch langsam mit dem Satz von Gauss aufgeschrieben, jetzt haben wir

das auch so hinbekommen. So, jetzt kann ich nochmal partiell integrieren und eine Ableitung

von hier hier rüber schmeißen, dann kriege ich tatsächlich raus, das ist minus Integral über

Omega u laplace v und dann habe ich erst noch das Randintegral von vorhin, da kriege ich

jetzt noch ein zusätzliches Randintegral aus dieser partiellen Integration mit dem

anderem Vorzeichen Integral u Gradient v mit n. Sieht schon ein bisschen besser aus, da haben

wir hier schon eigentlich das, was wir gerne hätten, das hier ist ja genau das Skalarprodukt