Nachdem wir uns in den letzten Videos mit Differentialoperatoren erster Ordnung

beschäftigt haben, das waren insbesondere Funktionen, die vom R hoch N nach R abbilden

und die wir einmal in jede Koordinatenrichtung ableiten konnten, wollen wir uns jetzt in diesem

Video mit der Frage beschäftigen, kann man solche Funktionen im R hoch N auch mehrfach ableiten,

das heißt die zweite Ableitung, dritte Ableitung, eine beliebige N-Ableitung sich anschauen. Und was

muss man dabei beachten, zum Beispiel spielt die Reihenfolge, in der ich ableite eine Rolle, muss

ich erst in x und dann in y oder kann ich auch andersrum erst in y und dann in x-Richtung

ableiten? Mit solchen Fragen wollen wir uns in diesem Video beschäftigen. Zuerst einmal wollen

wir feststellen, dass wir Funktionen im R hoch N generell auch mehrfach ableiten können, falls

diese gewisse Voraussetzungen erfüllen. Wir sagen, eine Funktion ist k plus einmal differenzierbar,

falls wir sie k mal partiell differenzieren können, in beliebige Richtung und in beliebiger

Reihenfolge und wir dann eine Funktion erhalten, die wieder partiell differenzierbar ist. Dann ist

die k plus einmal partiell differenzierbar. Es ist aber erstmal nicht klar, ob die Reihenfolge eine

Rolle spielt. Das heißt, wir wollen uns als erstes mit der Frage beschäftigen, ob folgende Gleichheit

gilt. Folgende Frage gilt die folgende Gleichheit. Und zwar, wenn wir sagen, wir haben eine Funktion

f, die von u nach r abbildet und u ist eine offene Teilmenge des R hoch N, dann ist die Frage,

gilt, falls sie zweimal partiell differenzierbar ist, die folgende Gleichung, nämlich die partielle

Ableitung in die i-te Koordinatenrichtung angewendet auf die partielle Ableitung in die

j-te Koordinatenrichtung von f in einem Punkt x, ist dass dasselbe wie die Ableitung in j-te

Koordinatenrichtung angewendet auf den i-te von f in x. Sie sehen, wir haben einfach nur die

Koordinatenrichtung vertauscht. Das heißt, wenn wir uns das runter brechen auf ein einfaches

Beispiel, einmal erst in x und dann in y Richtung abgeleitet und das andere mal genau andersrum,

erst in y, dann in x. Und die große Frage, die wir uns stellen, ist, gilt solche eine

Vertauschbarkeit von Ableitung macht das einen Unterschied und wenn es einen Unterschied macht,

wann ist das der Fall und wann können wir getrost diese beiden Operatoren miteinander

kommunizieren. Dazu wollen wir uns erstmal ein Beispiel anschauen, vielleicht schreibe ich noch

dazu, für alle i,j aus 1 bis N und wir schauen uns das ganze erstmal für ein Beispiel an und

werden feststellen, dass die Voraussetzung, dass die Funktion zweimal partiell differenzierbar ist,

nicht für solch eine Vertauschung reicht. Das heißt, wir fangen direkt mit einem erschreckenden

Gegenbeispiel an. Wir nennen das Beispiel Vertauschbarkeit von Ableitung. Da wir jetzt

nicht mehr nur von den ersten Ableitungen sprechen, sondern von zweiten, dritten und so weiter,

sprechen wir insgesamt von Differentialoperatoren höherer Ordnung. Damit ist einfach nur gemeint,

dass wir öfter ableiten. Gut, wir schauen uns mal eine konkrete Funktion an. Die ist natürlich so

gebaut, dass es da zu einem Problem kommt. Wir betrachten die Funktion und zwar ist sie nur in

zwei Variablen f von x und y und sie ist jetzt erstmal definiert als x mal y und dann ein

Kozierten, der relativ symmetrisch aussieht, nämlich x² minus y² geteilt durch x² plus y².

Sie sehen schon, wir müssen den Punkt, man denkt, man muss den Punkt x und y gleich 0

rausnehmen, aber dadurch, dass wir hier oben multiplizieren noch, mit x mal y wird der Zähler

auch 0 und in dem Fall können wir die Funktion an der Stelle als 0 definieren. Da wir das gleich

brauchen für die berechnung der Patientenableitung, ziehe ich einfach mal den Faktor x mal y mit in

den Zähler hinein, das werden wir gleich nochmal brauchen. Ansonsten müsste ich ein Produkt und

eine Koziertenregel ausrechnen und das ist zu kompliziert, darum vereinfachen wir uns das Ganze.

In der Form brauche ich nur die Koziertenregel, x² plus y². Das ist die Funktion, die wir uns

anschauen wollen und die Frage ist jetzt, wenn ich die Funktion in einem Punkt zweimal partiell

ableite, macht es einen Unterschied, welche Reihenfolge wir da betrachten. Dafür brauchen

wir jetzt erstmal die ersten partiellen Ableitungen. Wir rechnen zuerst die ersten partiellen Ableitungen

von F und die sind wie folgt gegeben, wir schauen uns erstmal die x Ableitungen an, das heißt,

was ist denn del x in der Kurzschreibweise von F in einem geliebten Punkt x und y. Jetzt müssen

wir die Koziertenregel anwenden, das heißt, wir leiten erst den Zähler ab mal den Nenner minus

der Zähler nicht abgeleitet mal der Ableitung des Nenners und das ganze teilen wir nochmal im