Hallo wir fangen an mit der Probe Klausur Aufgabe Nummer 1, in der es um die Konvergenz und Divergenz von Reihen geht.

Wir starten mit der Aufgabe 1a. Hier geht es darum, dass wir diese Reihe haben, wie die Relle dran steht.

Wir müssen jetzt überlegen, welche Werkzeuge, welche Methoden, welche Riterien wir anwenden können, um die Konvergenz oder die Divergenz von dieser Reihe zu überprüfen.

Der erste Hinweis ist, dass wir hier ein alternierendes Vorzeichen haben und hier etwas, was gegen Null konvergiert.

Das konvergiert gegen Null, weil Cosnus von K beschränkt ist durch 1 und E hoch minus K gegen Null geht für K reglendlich.

Aber wir können das Leibnisgithäum nicht anwenden, weil Cosnus von K durch E hoch K als Folge nicht positiv ist.

Cosnus von K ist positiv und Monoton gegen Null konvergiert.

Das ist ein bisschen eine falsche Fertigung, die muss man zugeben.

Für das Leibnisgithäum brauchen wir erstens dieses alternierende Vorzeichen und zweitens hier eine Folge in dieser Summation, die positiv ist und Monoton gegen Null konvergiert.

Das ist hier nicht der Fall. Aber das macht nichts, wir können damit trotzdem umgehen.

Aber wir können majorisieren, also eine Majorante finden.

Das sehen wir schon da so ein bisschen drin.

Wenn wir Minus 1 hoch K mal Cosnus von K durch E hoch K Betrag nehmen, dann fällt dieses Vorzeichen komplett weg.

Und Cosnus von K können wir beschränken durch 1, das heißt das da ist klar und gleich E hoch minus K auf jeden Fall.

Egal was passiert.

Darauf folgt, dass diese Reihe hier Cosnus von K durch E hoch K beschränkt ist und absolut konvergiert.

Also konvergiert absolut, weil wir eine Majorante gefunden haben, nämlich E hoch minus K.

Denn die Majorante E hoch minus K summiert von K gleich 1 bis unendlich, das ist eine geometrische Reihe.

Also minus den Eintrag über K gleich 0, was ist das? Das ist 1 durch 1 minus E, jetzt minus K gleich 0, das ist 1, also das hier.

Das ist kleiner unendlich.

Also haben wir diese ganze Reihe hier, die hat irgendwelche Vorzeichen, die immer wieder ein Plus und ein Minus reinbringen.

Aber wir können diese ganzen Summanden hier abschätzen im Betrag gegen einen positiven Term, der eine absolut konvergierte Reihe angibt.

Und deswegen konvergiert diese Reihe auch.

Also nicht alles, was hier so ein alte Minus vorzeichen zu haben scheint, kann man mit dem Leibniz-Gitarre aus schlagen.

B, jetzt haben wir die Reihe K gleich 1 bis unendlich von Sinus von K durch K².

Das funktioniert jetzt eigentlich fast identisch.

Wir können das wieder beschränken.

Sinus von K durch K² im Betrag ist kleiner gleich, weil Sinus von K ist auch zwischen minus 1 und 1, also im Betrag kleiner als 1, ist kleiner als 1 durch K².

Und die Summe über die 1 durch K², die konvergiert, also die Reihe konvergiert, also wieder mit dem Majorantenkriterium.

Konvergiert nach dem Majorantenkriterium.

Und noch hier konvergiert sie sogar auch wieder absolut.

Bei C haben wir die Reihe K gleich 1 bis unendlich 1 durch K plus Logarithmus von K.

Und jetzt muss man ein bisschen kritisch drauf schauen. Es ist auf jeden Fall immer gut, wenn man sich am Anfang grob eine Vorstellung macht, ob es konvergiert oder divergiert.

Und sowohl 1 durch K als auch 1 durch Logarithmus von K sind problematische Summanten.

Deshalb kann man jetzt hier schon die Hypothese haben, dass es wohl divergieren muss, und das tut es auch in der Tat.

Und das können wir zeigen mit dem Minorantenkriterium.

Also die einfachste Art und Weise zu machen ist zu sagen, naja K plus Logarithmus von K ist ja größer gleich als K.

Für alle K größer als 1 ist das richtig.

Daraus folgt, das, worüber wir summieren, 1 durch K plus Logarithmus von K, ist dann, ja weil es jetzt im Nenner steht, kleiner als 1 durch K.

Und das bringt uns jetzt überhaupt nichts.

Wenn wir jetzt hier drüber summieren, dann hätten wir es beschränkt gegen eine, die minorant ist.

Das bringt uns gar nichts.

Was wir stattdessen machen müssen, ist das folgende.

Wir müssen das hier in die andere Richtung abschätzen.

Also das hier nicht nach oben, also nicht nach unten, sondern nach oben beschränken.

Was ist das hier? Das ist kleiner gleich 2 mal K, weil, ja warum ist das richtig?

Weil der Logarithmus von K kleiner als K ist, für alle K größer als 1.

Also das weiß man, wenn man das hier plotet, ja, man kann es analytisch zeigen, indem man die Funktion Ln von x gegen die Funktion x abschätzt.

Das kann man machen.

Oder man kann es auch mit Induktion zeigen und eigentlich haben wir es auch schon die ganze Zeit verwendet.