Den letzten Differentialoperator zweiter Ordnung, den wir uns anschauen wollen, ist der sogenannte

Laplace-Operator. Dieser spielt besonders in der Physik und auch in der Modellierung eine

besondere Rolle, denn man kann den Laplace-Operator sozusagen als eine Diffusion ansehen und er spielt

zum Beispiel in der Wärmeleitungsgleichung eine besondere Rolle. Das heißt, der taucht canonisch

an vielen Stellen auf, wo sich etwas isotrop in alle Richtungen verteilt, sei es Wärme,

Informationen oder ähnliches. Gut, der Laplace-Operator wie gesagt ist auch ein

Differentialoperator zweiter Ordnung, das heißt er basiert auf partiellen Ableitungen der zweiten

Ordnung. Wir müssen zweimal partiell ableiten. Wir beginnen mit der Definition des Laplace-Operators.

Was verstehen wir darunter? Wir müssen wieder definieren eine offene Umgebung,

U-Teilmenge, R auch n eine offene Teilmenge und wir verlangen wieder, dass wir eine Funktion haben,

die zweimal stetig partiell differenzierbar ist und sei f von U in die reellen Zahlen eine

zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion. Sie sehen, uns reichen bei diesen

Differentialoperatoren nicht die Aussage, dass wir partiell differenzieren können,

es muss auch stetig sein. Nur dann haben wir schöne Eigenschaften. Genau und dann können wir

den Laplace-Operator wie folgt definieren. Wie ist er definiert? Relativ einfach. Das Symbol,

das man verwendet ist ein ungedrehtes Nabler-Symbol, also ein Dreieck, das ist das sogenannte Delta und

wir definieren den Operator Delta f von x, Laplace-Operator f von x als die Divergenz,

das war ein Operator erster Ordnung, der auf Vektorfeldern interagiert und den wenden wir

an auf den Gradienten von f. Die Divergenz vom Gradienten, das ist der Laplace-Operator.

Wenn man das Ganze ausrechnet, dann kommt man auf folgende etwas kompaktere Form,

nämlich das ist eine Summe von i gleich 1 bis n über die zweiten Ableitungen von f,

das heißt ich muss zweimal partiell ableiten, immer in die jeweilig gleiche Koordinatenrichtung,

das heißt ich habe hier ein Del x i zum Quadrat stehen an einer Stelle x. Das ganze kann man

ein bisschen kürzer hinschreiben, Sie kennen das für partielle Ableitung, das ist einfach die Summe

von i gleich 1 bis n über die Del i Quadrate von f von x. Das heißt der Laplace-Operator

macht eigentlich nichts anderes als sich die zweiten Ableitungen in den Koordinatenrichtung

anzuschauen und all diese aufzusummieren. Man tut ja nicht. Das heißt er gibt auch viel darüber

an wie die Krümmung aussieht an einem Ort. Ich schaue in alle Richtungen und schaue was sind die

zweiten Ableitungen, das kann ich so ein bisschen mit Krümmung vergleichen und diesen Operator

nennen wir Laplace-Operator von f. Wir können den ganzen Laplace-Operator aus den Überlegungen,

die wir schon kennen, wir wissen ja die Divergenz, können wir als ein Skalarprodukt mit dem

Nabel-Operator schreiben, das können wir auf den Laplace-Operator übertragen, da wir im Prinzip

hier die Divergenz stehen haben. Das heißt ich kann ihn auch anders notieren und das wird auch

häufig so in der Physik gemacht. Analog können wir schreiben, das ist jetzt sozusagen die Notation

mit dem Nabel-Symbol. Wir können den Laplace-Operator von f ganz informell ohne ein Funktionsargument

auch schreiben als das Skalarprodukt vom Nabel-Operator mit dem Radienten von f,

da das ja gerade die Divergenz ist. Das Ganze wird auch häufig dann abgekürzt, weil man sieht es

taucht zweimal das Nabla-Symbol auf als Nabla zum Quadrat von f. Und so kann man sich das Ganze

vielleicht auch noch mal herleiten. Falls man das Symbol sieht, weiß man hier ist der Laplace-Operator

gemeint. Genau, bevor wir jetzt noch ein Beispiel rechnen, möchte ich darauf hinweisen, dass der

Laplace-Operator gleichzeitig auch die Spur der Hessel-Matrix ist. Warum? Wenn wir uns noch mal

anschauen, was im letzten Video zur Hessel-Matrix gesagt worden ist, dann ist die Spur ja gerade die

Summe der Diagonaleinträge. Und was steht auf den Diagonaleinträgen? Das sind gerade die zweifachen

Ableitungen in die gleiche Koordinatenrichtung. Das heißt für uns, wenn wir die Diagonale

aufsummieren der Hessel-Matrix, dann haben wir eigentlich genau dasselbe wie den Laplace-Operator.

Das heißt folgende Bemerkung wollen wir noch machen. Die Spur der Hessel-Matrix ist der

Laplace-Operator. Das können wir in kurz schreiben als Laplace-Operator f von x ist gerade gleich

der Spur-Operator, den kennen wir noch aus der Linie an Algebra, angewendet auf die Hessel-Matrix

von f im Punkt x. Ja, das Ganze wollen vielleicht noch mal in einem Rechenbeispiel verifizieren.

Das heißt wir machen noch mal das gleiche Beispiel wie im Video zur Hessel-Matrix. Dann können wir