In Aufgabe 4 geht es um Integrale.

Mit der ersten Teilaufgabe gleich ein uneingelingses Integral.

Wir schauen zuerst mal, ob wir in der Lage sind, die Stammfunktion zu bestimmen.

Das Integral von 1 durch x².

Wie kann man das hier attackieren?

Man kann zum Beispiel an Partialintegration denken.

Wenn man das aber macht, dann merkt man relativ schnell, dass das hier beim Ableiten hässlich wird.

Man geht es vielleicht irgendwie hin und so, aber schöner ist es zu subsidiieren.

u ist vielleicht 1 durch x.

Das kommt hier schon so vor.

Generell ist es immer eine schlaue Idee, wenn man eine Verkeppung von Funktionen sieht.

Die innere Funktion ist die Subposition zu wählen.

Und das bedeutet du nach dx ist gleich minus 1 durch x².

Das bedeutet du ist gleich minus 1 durch x² dx.

Und jetzt können wir hier schon das hier und das hier sehen.

1 durch x² mal dx. Das ist genau sowas.

Das geht sich gut aus.

Und der einzelne x-Term, das ist gleich dieses u.

Das heißt, wir sehen schon, mit dieser Kombination kriegen wir alle Terme kontrolliert.

Die kommen alle vor, wir kriegen die alle subsidiert.

Das heißt, das da mit der Subposition ist das Integral u sinos von...

Entschuldigung, das ist Quatsch.

Kein u.

Er wird nur sinos von u du.

Sinos von u, die u integriert, ist minus cosinus von u plus c.

Jetzt müssen wir rücksatzitiieren.

Das ist also minus cosinus von 1 durch x plus c.

Das ist die Stammfunktion.

Jetzt können wir uns an das unheimliche Integral machen.

Das Integral von 2 durch pi bis unendlich.

Von 1 durch x².

Sinus von 1 durch x dx.

Warum ist es uneigentlich?

Weil hier unendlich dran steht. Die linke Grenze ist kein Problem.

Sinus von 1 durch 2 durch pi ist Sinus von 1 halbe.

Das ist 1 und das ist auch kein Problem.

Irgendwann ist es kein Problem.

Das ist der Grenzwert von r geht gegen plus unendlich.

Vom Integral von 2 durch pi bis r von 1 durch x².

Sinus von 1 durch x.

Jetzt sehen wir, was die Stammfunktion von diesem Integranten ist.

Das ist der Grenzwert von r geht gegen plus unendlich.

Von...

Jetzt Stammfunktion.

Minus cosinus von 1 durch x.

Das ist plus 10 und das ist sparen. Das fällt eh weg beim Einsetzen der Grenzen.

2 durch pi r.

Setzen wir das also ein.

Das ist dann der...

Mit dem Vorzeichen kann ich jetzt auch die Grenzen umändern, wenn ich möchte.