Hallo, zur Übung zur Merkwürbdynamik. Wir wollen uns heute also mechanische Systeme mit Bindungen

anschauen. Das heißt, dass die Bewegung von diesen Systemen eingeschränkt ist. Das kann irgendwie

aufgrund von Lagern sein, von Gelenken oder irgendwelchen Verbindungselementen. Und in

der Vorlesung war da das Beispiel von dem Verladekran. Man kann sich auch Beispiele denken,

aus der Robotik zum Beispiel oder ganz der menschliche Arm zum Beispiel. Ja, meine Hand,

ich kann die nicht einfach frei bewegen. Ich habe ein Gelenk hier, das lässt diese Kippbewegung zu,

aber auch nur bis zum bestimmten Winkel. Ja, dann kann ich noch so ein bisschen drehen, auch hier,

nur ein bisschen Winkel. Das heißt, Bewegung ist stark eingeschränkt durch die Gelenke. Oder,

genau, Ellenbogengelenk, da kann ich tatsächlich nur diese Bewegung machen und auch nur in einem

bestimmten Winkelbereich. Das heißt, die Gelenke schränken meine Bewegung ein. Und wir wollen jetzt

aber keine Körper anschauen, sondern nochmal eine Vereinbarung machen. Wir schauen uns erstmal nur

Massepunkte an und starten quasi mit dem einfachsten System, das man sich wahrscheinlich so vorstellen

kann. Von einem Massepunkt, das ist einfach ein einfaches Pendel. Und die Bewegung, das soll jetzt

mein Massepunkt sein, der kann sich auch nicht frei im Raum bewegen, sondern er kann sich nur auf

dieser Pendellinie bewegen, weil seine Bewegung eingeschränkt ist. Und, genau, das heißt,

wir kommen jetzt zu der ersten Aufgabe, die wir heute gemeinsam machen wollen. Insgesamt sind es

zwei und wir starten mit Aufgabe 32. Da geht es eben um so ein ebenes Pendel. Ja, ich habe also

einen Massepunkt M, dessen Position kann ich mit dem Lagevektor R beschreiben und dieser Massepunkt

kann sich, darf sich halt jetzt nur auf einer Kreislinie bewegen, weil wir ja also ein ebenes Pendel

uns jetzt anschauen wollen. Ja, und die Länge von dem Pendel, die Pendellänge wollen wir mit

klein L bezeichnen. So, jetzt wollen wir die Lage von diesem Massepunkt können wir mit dem Vektor

XY beschreiben. Das sind jetzt allerdings redundante Koordinaten. Wir haben quasi mehr Koordinaten

jetzt, als mein System freiheitsgrade besitzt. Und ich muss jetzt quasi zusätzlich noch eine

Zwangsbedingung geben, die mir also vorgibt oder vorschreibt, welche Werte X und Y überhaupt

annehmen dürfen. Ja, dass tatsächlich mein Massepunkt sich ja nur auf dieser Kreislinie bewegt.

Das sind jetzt also redundante Koordinaten. Und ich brauche jetzt eine Zwangsbedingung dazu.

Und dazu, die Zwangsbedingung lautet dann, also X² plus Y² minus L² ist gleich 0. Ja, was jetzt

hier drinsteckt, ist einfach die Kreisgleichung, die einen Kreis beschreibt mit dem Radius L.

Und genau, einfach alles auf eine Seite gebracht und die einhalb, hier ist ein kosmetischer Faktor,

ja, den könnte ich auch weglassen. Den nehme ich deswegen mit, weil er mir quasi die Ableitung

ein bisschen schöner macht, weil sich dann, wenn ich ableite, die hoch zwei dann rauskürzt,

aber das ist rein kosmetisch quasi. Und diese Zwangsbedingungen jetzt hier sind also auf

Lageebene, das heißt, holonom, und sie sind nicht explizit von der Zeit abhängig, das heißt,

sie sind Skleronom. So, dann wollen wir den Begriff der Mannig-Faltigkeit einführen. Ja,

also meine Kreislinie hier, mal ich sie doch aus, das ist meine Mannig-Faltigkeit,

Groß M, und die ist definiert als meine Menge aller Lagegrößen, die halt genau eben diese

Zwangsbedingungen erfüllen, das heißt, ja, die Mannig-Faltigkeit ist halt genau diese Kreislinie.

Und die Dimension von meiner Mannig-Faltigkeit ist gleich der Freiheitsgrad, ja, klein F,

der Freiheitsgrad meines Systems. Und speziell jetzt für ein ebendes Massepunktsystem,

ich schreibe das jetzt mal drüber, speziell für ebendes Massepunktsystem, kann ich mir

den Freiheitsgrad berechnen, indem ich also 2 mal np, wobei np also für die Anzahl der

Massepunkte steht, wie viele Massepunkte quasi in meinem System vorkommen, und die 2, naja,

weil jeder Massepunkt einfach mal 2 Freiheitsgrade hat, ja, sich in der, also in dem Ebenen,

deswegen hier speziell für ebendes Massepunktsystem steht hier eine 2, im dreidimensionalen Raum würde

hier eine 3 stehen, ja, weil je nachdem, wie viel Freiheitsgrade, translatotische Freiheitsgrade

man Massepunkt hat, und minus klein b, und in dem klein b steckt also die Anzahl der

Zwangsbedingungen, der Zwangsbedingungen, die die Bewegung meines Systems einschränken,

ja, das heißt also für unser, speziell hier, haben wir einen Massepunkt, das heißt also

2 mal 1 minus, und wir haben eine Zwangsbedingung, genau diese hier, also 2 mal 1 minus 1 ist

gleich 1, das heißt der Freiheitsgrad meines Systems ist 1, und das ist auch die Dimension