Wie schon das letzte Mal angekündigt, wollen wir uns heute mit Energiemethoden für die

Wärmeleitungsgleichung beschäftigen.

Also wir betrachten dTu minus Laplace u gleich f in Omega Kreuz r plus und u gleich g auf

Rand Omega Kreuz r plus und dazu noch einen Anfangswert u gleich u 0 zum Zeitpunkt t

gleich 0 und wir nehmen an f und g sind unabhängig von der Zeit.

Also wir haben eine stationäre Randbedingung, eine stationäre Wärmequelle dieserweise

und da macht es natürlich Sinn sich das stationäre Problem auch anzusehen.

Also wir haben also nur f von x und g von x und dann können wir dazu die Personengleichung

uns anschauen minus Laplace unendlich gleich f in Omega und unendlich gleich g auf Rand

Omega.

Wissen Sie schon das hat eine eindeutige Lösung, wenn f von g schön genug sind.

Jetzt interessiert uns was passiert für t gegen unendlich mit der Lösung hier.

Wir warten, dass sie gegen diese Lösung unendlich deswegen auch die Bezeichnung unendlich konvergiert.

Wir wissen auch unendlich minimiert die Energie e von u gleich ein halb Integral über Omega

Gradient u Quadrat minus Integral über Omega f mal.

So und jetzt können wir uns einfach mal anschauen was passiert mit dieser Energie in der Zeit

wenn u eine Lösung der Wärmeleitungsgelegenheit ist.

Ich würde sagen klein e von t ist e von u von x und t oder schreibe mal e von u Punkt t.

x ist die laufende Variable.

Das ist also eine Funktion der Zeit.

Jetzt können wir einfach die Zeitableitung die e nach dt mit Kettenregel ausrechnen.

Und wieder da u und f hinterher in klarte Funktionen sind können wir die Ableitungen

in das Integral reinziehen.

Das ist nicht ganz trivial.

Wenn wir nur zweimal Ortsableitung haben und einmal Zeitableitung, dann müssen wir das

eigentlich schreiben als Integral minus Integral laplace u mal u nach partieller Integration.

Aber wir können am Ende wenn alles klar genug ist zeigen das ist das Integral Gradient u

Gradient dt u.

Wenn wir annehmen es gibt diese gemischte Ableitung minus Integral f mal dt u.

Wir beachten dass die Zeitableitung von f ja 0 ist.

So und jetzt wissen wir auch usg von x auf Rand Omega.

Also ist ja dt ungleich 0 auf Rand Omega.

Das heißt wir können hier wirklich partiell integrieren ohne Randterm.

Wir können das also wirklich schreiben als minus laplace u mal dt u minus Integral f

mal dt u.

Und dann ist alles richtig definiert, weil laplace u ist stetig und dt u ist stetig.

Also haben wir auf jeden Fall das Produkt von zwei stetigen Funktionen.

So da kann man jetzt natürlich einsetzen die Zeitableitung dt u.

Wir haben ja hier minus Integral über Omega laplace u plus f mal dt u.

Und dt u ist selbst aber auch wieder laplace u plus f.

Das heißt wir haben hier tatsächlich das Integral von laplace u plus f zum Quadrat.

Also haben wir hier mit dem Minus davor tatsächlich etwas negatives.

Also wir wissen schon die Zeitableitung der Energie ist tatsächlich negativ.

Die Energie wird also kleiner im Verlauf der Zeit.

So wir können das Ganze auch noch ein bisschen anders schreiben indem wir da oben nochmal

die Poisson Eingleichung einsetzen.

F ist ja minus laplace unendlich.

Das heißt was hier steht ist eigentlich minus das Integral über Omega von laplace u minus

laplace unendlich.

Also in gewisser Weise ist das ein Abstand zwischen u und unendlich.