So zur Einstimmung auf das nächste Kapitel werden wir noch ein paar Dinge aus der Funktionalanalysis

wiederholen oder die, die teilweise in der Analysis 3 vorgekommen sind und dann auch eine

geeignete Grundlage zu haben, die Personengleichung in so einem Rahmen zu betrachten. Zunächst mal

sagen wir x ist ein normierter Raum.

Wenn er ein Vektorraum ist, ist es ein linearer Vektorraum

mit einer Norm. Eine Norm ist eine Abbildung von x nach r plus

vereinigt 0. Die folgende Eigenschaften erfüllt die Norm ist größer 0 für x ungleich 0.

Die Norm ist positiv homogen, das heißt die Norm von Lambda mal x ist Betrag Lambda mal

Norm x für x aus x und Lambda aus r. Die Norm erfüllt eine Dreiecksungleichung, das heißt

die Norm von x plus y ist kleinergleich Norm von x plus Norm von y für xy aus x.

Wir sagen eine Folge xn in x kombagiert

gegen ein x quer aus x, wenn die Norm von xn minus x quer gegen 0 geht. Diese Norm ist

dann eine Folge im r plus, dort haben wir eine klar definierte oder die übliche definierte

Konvergenz der Folgen. Ist dazu noch x vollständig, das heißt

jeder Häufungspunkt einer Folge liegt in x oder jede i Folge kombagiert, dann nennen

wir x ein Banachorn.

Dann wenn x ein normierter Raum ist, können wir die linearen Funktionale auf x betrachten.

Wir sagen L von x nach r, wenn es linear ist, dann ist L stetig, natürlich wenn L von

x kleinergleich einer konstanten Linie, wenn Norm von L mal die Norm von x gilt. Insgesamt

sagen wir stetig, wenn es kleinergleich einer konstanten Mal die Norm von x ist und die

kleinst mögliche Konstante definieren wir dann als die Norm von L. Und dann kann man

sagen wir sammeln alle diese stetigen linearen Funktionale im Raum x Stern, der sogenannte

Dualhaum. L ist linear und stetig. Und wir geben diesem Raum x Stern auch eine Norm.

Genau hier, wie er definiert, das Infimum über x ungleich 0 von Betrag L von x durch

Norm von x. Jetzt kann man nachprüfen, dass das tatsächlich eine Norm ist. Und der Raum

x Stern mit dieser Norm ist dann auch immer ein Banachorn. Also selbst wenn es vorher

nur ein normierter Raum war, haben wir hier einen Banachorn. Und den nennen wir den Dualhaum

von x. Wenn der Banachorn auch noch ein Skalarprodukt

hat, dann ist der Film jetzt auch nochmal ein Skalarprodukt, ist eine Abbildung von

x Kreuz x nach R, sodass es erstens symmetrisch ist, also xy ist gleich yx für alle xy aus

x. Dann soll es linear sein in jeder Komponente, also lambda xy ist lambda x mit y. Alle xy

aus x und lambda aus R. Selbe Eigenschaft soll in der zweiten Komponente gelten, brauche

ich aber nicht mehr hinschreiben, weil das folgt auch aus der Symmetrie. Da kann ich

ja die zweite Komponente in die erste wieder umschreiben und es soll gelten x1 plus x2y

ist x1y plus x2y für alle x1, x2 und y aus x. Und dann soll es noch positiv sein, das

heißt Skalarprodukt von x mit sich selbst soll größer 0 sein für x und gleich 0 aus

x. Wenn wir ein Skalarprodukt auf dem Raum x haben, dann können wir dort auch eine Norm,

die durch das Skalarprodukt induziert wird, hinschreiben und die induzierte Norm ist einfach

die Wurzel aus dem Skalarprodukt von x mit sich selbst. Und wenn der Raum x mit dieser

Norm ein Banachraum ist und die Norm wird von einem Skalarprodukt induziert, dann nennen

wir ihn einen Hilbertraum. Ok, dazu ein paar Beispiele noch, kanonische Beispiele. Wenn

Omega eine Teilmenge des Rn ist, nenne mal ruhig ein beschränktes Gebiet, dann sagen

wir Lp von Omega ist die Menge aller Funktionen u von Omega nach R, die messbar bezüglich

des Lebesmaßes sind und wo das Integral, das Lebesmaß Integral von u hoch p kleiner

und endlich ist. Für 1 kleiner gleich p kleiner und endlich. Wenn wir dort die Norm definieren,

als Integral von Omega u hoch p hoch 1 durch p, dann ist das tatsächlich ein Banachraum.

An dieser Stelle war es wichtig, dass wir die messbaren Funktionen genommen haben. Wir

könnten auch die stetigen Funktionen mit dieser Norm nehmen, dann wäre das immer noch

ein normierter Raum, aber ich kann dann Grenzwerte von stetigen Funktionen finden, die nicht

mehr stetig sind in dieser Norm. Damit ist es kein Banachraum. Wenn ich zu den messbaren