So, herzlich willkommen, meine Damen und Herren, hier zu unserer kleinen Zauberveranstaltung.

Wir wollen noch mal ein bisschen weitermachen hier mit diesen schwierigen Geschichten.

Und zwar sind wir immer noch bei dem Thema 5.2, die räumliche Bewegung von starren Körpern.

Und was wir uns letztes Mal mühsam erarbeitet haben, das ist, sag ich mal in Kürze das Folgende.

Wenn das hier mal unser starrer Körper sein soll, dann haben wir festgestellt, dass sich die Geschwindigkeit an irgendeinem Punkt dieses starren Körpers,

sag ich mal diesen Punkt hier, beschreiben lässt durch zwei Größen im Wesentlichen.

Wenn ich das mal richtig mache, okay. Nämlich einmal die Geschwindigkeit an so einem Referenzpunkt, das könnte der Schwerpunkt sein, aber auch irgendein anderer.

Und dem Abstand zwischen A und B. Also wir interessieren uns für die Geschwindigkeit am Punkt B.

Und dazu brauchen wir eben hier diesen Abstandsvektor zwischen A und B. Und wir brauchen die Geschwindigkeit von A.

Also ich trage die mal hier irgendwie ein. Das wäre V a. Hab ich das jetzt unten oder oben hingeschrieben?

So, kurz mal gucken. Oben. Und wir brauchen eben den Winkelgeschwindigkeitsvektor omega.

Und mit diesen zwei, habe ich eben gesagt drei Elementen, können wir dann aufschreiben den Geschwindigkeitszustand am Punkt B.

Jetzt mache ich den da auch noch ein. Was weiß ich. Vielleicht sieht er hier so aus. V b.

So, und dann war diese Euler-Darstellung, das Euler-Theorien, wie ich das genannt hatte, sah dann so aus.

Die Geschwindigkeit des Punktes B ergibt sich aus der Geschwindigkeit des Punktes A plus dem Kreuzprodukt aus dem Winkelgeschwindigkeitsvektor und diesem Abstandsvektor zwischen A und B.

Also plus omega Kreuz R a b. So. Gut, das brauche ich vielleicht jetzt in Prosa nicht noch mal dahin zu schreiben.

Und mit dieser Darstellung, die dann ja auch insbesondere eben gilt, wenn ich zum Beispiel für den Punkt A, meinetwegen den Schwerpunkt setze, ja, dann könnte ich hier alternativ auch schreiben,

könnte ich hier alternativ auch schreiben, die Schwerpunktsgeschwindigkeit, das hatten wir immer mal mit einem großen V bezeichnet, das sei die Geschwindigkeit des Schwerpunkts plus immer das gleiche omega.

Und dann war das jetzt hier eben der Ortsvektor vom Schwerpunkt zum Punkt B meinetwegen.

So, das hatten wir uns letztes Mal schon überlegt und wir hatten damit, hey, sie sind doch gar nicht so viele, warum sind sie dann so laut?

Kann doch nicht sein. Wir hatten uns dann damit überlegt, okay, gibt es vielleicht Punkte, oder ja, Punkte, die irgendwo im Raum liegen, also die müssen ja nicht unbedingt auf dem starken Körper oder in dem starken Körper liegen,

so, dass ich eben die gesamte Bewegung des starken Körpers als lediglich so eine Drehung beschreiben kann. Und das führte die sogenannte momentane Geschwindigkeitsachse ein.

Ich will das mal hier vielleicht noch mal ein bisschen mit andeuten. MGA haben wir die, glaube ich, genannt. Ja. Und dann hatten wir folgende Darstellung zum Schluss gewinnen können.

Das ist jetzt das Thema die momentane Geschwindigkeitsachse. Ich schreibe es einfach hin.

Und da hatten wir im Wesentlichen zwei wichtige Ergebnisse mal uns überlegt. Das eine ist, wo liegt diese Geschwindigkeitsachse?

Und das war eben diese Darstellung, die Ortsvektoren vom Schwerpunkt meines Körpers zur momentanen Geschwindigkeitsachse, das wäre also dieser Ausdruck hier, die ergeben sich aus dem Kreuzprodukt Omega mit der Schwerpunktgeschwindigkeit.

Das ist die Geschwindigkeit, die hier auch schon steht, geteilt durch die quadratische Länge, das ist das Quadrat der Länge von Omega plus s mal e Omega, wobei das die folgenden Größen sein sollen.

Also, zunächst mal lassen wir uns hier mal irgendwo, meinetwegen ist hier der Massenmittelpunkt auf irgendeinen Grund.

Dann haben wir zunächst mal hier, das war dann der Abstandsvektor R Überstrich und die Gleichung, die ich jetzt hier eben hingeschrieben habe, da haben wir praktisch einen Anteil, das ist hier ein konstanter Vektor, der zählt hier vom Massenmittelpunkt.

Vielleicht gibt es gerade diesen Vektor hier, das ist also gerade Omega Kreuz V durch Omega Quadrat und von da ab zählen wir dann eben in die Richtung, die jetzt hier durch das Omega gegeben ist, das ist e Omega, das ist die Einheitsrichtung zu Omega, zählen wir dann eben mit einer Bahnkoordinate s hier hoch.

Das heißt, dieser Ausdruck hier ist nichts anderes als die Beschreibung einer Gerade im Raum, sozusagen mit einem Anfangspunkt und dann eine Richtung, in der entlang ich dann eben hoch oder runter laufe.

Okay, so alle die Punkte, die Sie so beschreiben lassen, das ist also eine Gerade, die zeichnen eben diese momentane Geschwindigkeitsachse aus und die wiederum hat die Eigenschaft, dass wenn ich mithilfe der Euler-Gleichung hier die Geschwindigkeit auf diese Achse ausrechne, dann habe ich praktisch dort auf der Achse maximal noch eine Translationsbewegung in der Richtung der Achse und ansonsten aber keine Bewegungen mehr.

So, sodass ich also insgesamt, und das war dann zum Schluss das letzte, was wir rausgekriegt hatten, sich die gesamte Bewegung unseres starren Körpers schreiben lässt in dieser Form,

nämlich die Geschwindigkeit an irgendeinem Punkt meines starren Körpers kann ich jetzt eben beschreiben als die Geschwindigkeit entlang dieser momentanen Geschwindigkeitsachse, also eine Translationsbewegung, die nur so eine Richtung hat.

Davon hatten wir uns überzeugt, dass es so ist. Plus eine Rotation, denn das sind hier diese Omega-Kreuzirgendwas-Produkte immer, R minus RMGA.

Das ist also praktisch ein Differenzvektor, wenn ich den jetzt auch noch hier einmale, sehen Sie gleich gar nichts mehr, aber das ist jetzt praktisch ein Differenzvektor, der von diesem Punkt hier hoch zeigt.

Das wäre jetzt ja R minus RMGA. So, und das ist jetzt eben praktisch die Beschreibung der Bewegung als Rotation um diese Achse.

Das war letztes Mal die Konklusion und das schreibe ich Ihnen jetzt aber doch noch einmal in Prosa auf, falls es schön ist zu merken vielleicht.

Achso, eins sollte ich vielleicht noch sagen, wir hatten noch rausgekriegt, dass diese Geschwindigkeit hier sich gerade ergibt aus der Projektion der Schwerpunktsgeschwindigkeit in die Richtung von Omega.

So, das waren die Gleichungen, die wir Freitag mit viel Begeisterung entwickelt haben, oder? Genau, Sie waren richtig begeistert.

Ungefähr wie Bayern München bei Schalke, vermute ich. Okay, naja. Gut, also jetzt schreiben wir das nochmal dahin.

Die räumliche Bewegung eines starken Körpers kann hinsichtlich des Geschwindigkeitszustandes

momentan als eine Rotation mit dem Linken und dem O-Ring,

mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor Omega um, vielleicht schreibe ich das hier nochmal hin, das ist die Länge und dann die Richtung.

Die Größen haben wir da oben in den gleichen ja schon benutzt.

Also kann momentan als eine Rotation mit Omega um die momentane Geschwindigkeitsachse und eine Translation mit dieser Geschwindigkeit Vmga

in dieser Richtung E-Omega beschrieben werden.

Die Vmga ist somit die Wirkungslinie der sogenannten Geschwindigkeitsschraube.

Sie erinnern sich, Korkenzieher ist ein gutes Beispiel dafür der Geschwindigkeitsschraube.

Gut, also das nochmal zur Abrundung dessen, was wir letztes Mal gesagt haben.