Die Aufgabe 9 sprechen über Funktionen oder Funktionen Grenzwerte. Konkret geht es dabei um folgende

zwei Funktionen f1 und f2 auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen. f1 von x ist 1 minus x durch

Wurzel x² minus 1. f2 von x ist 2x minus 6 durch x² minus 4x plus 3. Die erste Frage ist, was sind

die Definitionsbereiche der beiden Funktionen? Der Definitionsbereich von so einer Funktion ist der

Bereich der erlaubt ist für x-Werte. Also zum Beispiel ist in Brüchen natürlich immer der Fall ein

Problem, wo der Bruch durch 0 wird und bei Wurzel haben wir das Problem, dass die nicht von negativen

Zahlen gezogen werden kann. Das kann man sich ziemlich schnell belegen. Das Definitionsbereich

von f1 von minus Endlich bis minus 1 geht, minus 1 nicht eingeschlossen und von 1 bis plus Endlich.

Denn das sind die Punkte aus R, sodass x² minus 1 größer als 0 ist. Größer als 0 muss es sein,

damit die Wurzel definiert ist und nicht 0 darf es sein, damit hier unten im Nenner keine 0 steht.

Bei f2 müssen wir uns überlegen, wann der Nenner hier zum Problem wird,

wann also hier Nullstellen in diesem quadratischen Poinom auftreten. Und das kann man jetzt mit der

Mitternachtformel lösen. Dann haben wir jetzt hier eine Nullstelle x12 ist 4 plus minus Wurzel aus

16 minus 12 durch 2 und das ist 2 plus minus 1, also 1 und 3. Das heißt die Definitionsmenge

von f2 ist R ohne die Werte 1 und 3. Als nächstes interessieren wir uns für die Funktionsgrenzwerte

an den Randpunkten des Definitionsbereiches. Der erste interessante Grenzwert ist der Grenzwert

von x geht gegen minus Endlich von f1 von x. Das ist der linke Rand des Definitionsbereichs.

Das ist also der Grenzwert von x geht gegen minus Endlich von 1 minus x durch Wurzel x² minus 1.

Das hier oben geht gegen plus und Endlich, das unten geht auch gegen plus und Endlich. Das heißt

wir müssen hier erst was umformen und hier klammern wir wie immer die höchste Potenz aus

und die höchste Potenz ist jetzt hier x oder in dem Fall ist es schlauer Betrag x auszuklammern,

weil es mit der Wurzel konform ist. Wir schreiben jetzt hier Betrag x 1 minus x durch Betrag x

total durch Betrag x von Wurzel 1 minus 1 durch Betrag x². Das kürzen wir jetzt einfach hier und

jetzt wenn x gegen minus Endlich geht dann ist x natürlich kleiner 0 irgendwann, also ist es jetzt

hier das gleiche einfach x durch Betrag x gleich minus 1 zu setzen. Das heißt dass der Grenzwert

von x geht gegen minus Endlich von 1 minus 1 teilt durch Wurzel 1 minus 1 durch Betrag x².

Wenn x gegen minus Endlich geht dann geht Betrag x gegen plus Endlich also 1 durch Betrag x gegen

0. Das heißt das ganze ist jetzt hier 1 minus minus 1 durch 1 also 2.

Der nächste interessante Grenzwert ist der gegen minus 1 und zwar der von unten gegen minus 1.

Wir können gar nicht von oben gegen minus 1 gehen, weil die Funktion dort gar nicht definiert ist.

Hier haben wir also den Grenzwert von 1 minus x durch Wurzel x² minus 1.

Jetzt sehen wir schon was hier passiert.

x gegen minus 1 das ist jetzt das gleiche wie bei minus Endlich im Zähler.

Das hier geht gegen 2 und das hier geht aber gegen plus Endlich oder minus Endlich.

Das heißt das ganze hier geht auf jeden Fall gegen 0.

Jetzt können wir uns auch überlegen ob es gegen plus oder minus Endlich geht.

Das ist eigentlich unerheblich, aber das können wir trotzdem machen.

Also x geht von unten gegen minus 1. Das heißt x² geht von oben gegen 1.

Das heißt x² ist größer als 1.

Also natürlich, damit die Wurzel definiert ist.

Das heißt das ganze hier geht jetzt gegen also Moment, also der Nenner geht natürlich gegen 0.

Das sollte ich vielleicht anders schreiben sollen.

Also das hier geht gegen 0 und zwar von oben.

Natürlich, weil die Wurzel nur positiv ist.

Das heißt dieser Grenzwert ist jetzt nach den Echenregeln für bestimmte Divergenz gleich plus und Endlich.

So wie sieht es aus mit dem Grenzwert von x geht von oben gegen 1.

Das nächste Raum eines Definitionsbereiches ist dieser Rand hier.

Auch da muss man nur den einseitigen Grenzwert betrachten, weil der andere nicht existiert.

Jetzt sehen wir schon, dass hier etwas interessantes passiert, nämlich also oben geht es gegen 0, unten geht es gegen 0.

Das heißt das geht eventuell nicht gegen plus und Endlich oder sowas, sondern wir müssen hier genau gucken, was passiert.