Hallo, wir machen jetzt die Präsentaufgaben von Blatt 12 und wir fangen an mit der Aufgabe 34, wo es um totale Differenzierbarkeit geht.

In Aufgabe 34a haben wir die Funktion f von x,y ist gleich Sinus von x mal y, um zu zeigen, dass das eine total differenzierbare Funktion ist.

Und das ist relativ einfach, wir haben einen Satz in der Vorlesung gehabt, der uns gesagt hat, wenn die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, dann ist die Funktion total differenzierbar und das ist hier auch der Fall.

Also die partiellen Ableitungen, die können wir hier einfach hinschreiben, die x Ableitung von f mal das Kosinus von x mal y mal y und die y Ableitung das Kosinus von x mal y mal x und das sind beides stetige Funktionen.

Und zwar überall. Und daher wissen wir, dass aus der Vorlesung, dass f überall total differenzierbar ist. Und das war's auch schon.

Bei der Aufgabe B ist es ein bisschen kniffliger, wir haben hier folgende Funktion, die ist auf R2 definiert und schickt x,y nach x mal y hoch 3 durch x Quadrat plus y hoch 4 für x,y ungleich dem Nullpunkt.

Und der Nullpunkt wird auf Null geschickt. Und wir sollen jetzt zeigen, dass die Funktion nicht total differenzierbar ist im Nullpunkt.

Überall sonst ist sie total differenzierbar, das sieht man eher nicht, wie in der Ausgabe 34a. Diese Funktion ist einfach Produkt und Quotient von differenzierbaren Funktionen.

Und weg von Nullpunkt ist auch der Nenner kein Problem. Das heißt, die ist überall total differenzierbar, außer vielleicht im Nullpunkt, denn wir werden sehen, dass es da tatsächlich nicht funktioniert.

Okay, wie machen wir das jetzt? Um die total differenzierbaren Funktionen im Punkt überprüfen zu können, brauchen wir erstmal die partiellen Ableitungen in dem Punkt, weil wir damit dann die Jacobi-Matrix aufstellen.

Und die Ableitung nach x von f im Nullpunkt ist, das können wir jetzt nicht einfach hier ableiten und dann in Nullpunkt setzen. Das würde voraussetzen, dass die partiellen Ableitungen stetig sind, was wir ja nicht wissen.

Das heißt, wir müssen wirklich mit der H-Methode jetzt hier diese partielle Ableitung ausrechnen. Und was ist das? f von h Komma Null minus f von Null Komma Null.

Ja, h mal Null, also das ist Null minus Null durch h und das ist Null. Und genauso sieht man auch, dass das die y Ableitung im Nullpunkt ist.

Da setzen wir dann f von Null Komma h ein und f von Null Komma h ist Null mal h hoch drei durch Null Quadrat plus h hoch vier und so weiter.

Also die Ableitungen in die x Richtung, die Ableitungen in die y Richtung, also die partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind beide Null.

Und das bedeutet, der einzige Kandidat für die totale Ableitung, wenn sie denn existiert, wäre, also im Nullpunkt,

in Null Null wäre L gleich Jacobi Matrix von f im Nullpunkt. Und das ist einfach die Null Matrix. Jetzt kurz die Dimensionen checken.

Diese Funktion f hat eine Komponente und zwei Variablen. Das heißt, die Jacobi Matrix ist eine 1 Kreuz 2 Matrix mit diesen Nullern, die wir gerade ausgerichtet haben hier.

Das ist der Gradient von f von Null Null transponiert. Denn wenn wir eine Funktion haben, die nur eine Komponente hat, dann ist die Jacobi Matrix gleich der transponierten des Gradienten.

So und wenn f total differenzierbar ist, oder wäre, dann müsste gelten, dass der Grenzwert von f von x, y,

also ich meine jetzt hier immer, dass es immer ein Nullpunkt wäre, ich habe das über hingeschrieben, also f total differenzierbar Nullpunkt wäre,

dann müsste dieser Grenzwert hier f von x, y, minus f von Null Null, minus L mal x, y, minus Null Null, geteilt durch die Norm von x, dem x, y, vector,

für x, y geht gegen Null Null, dieser Grenzwert hier müsste existieren und er müsste gleich Null sein. Das ist die Bedingung für die totale differenzierbarkeit.

Dann machen wir das nochmal. Jetzt fällt hier extrem viel weg. f von x, y, wir können es hier annehmen, dass x, y nicht bereits im Nullpunkt liegt, das heißt wir können f von x, y in dieser Form hinschreiben.

f von Null Null ist Null, L ist die Nullmatrix, das heißt alles fällt hier weg und diese linke Seite hier ist gleich den Grenzwert von x, y geht gegen Null Null von,

wie sieht die Funktion nochmal aus, x mal y hoch drei durch x² plus y hoch vier, minus Null und so weiter, geteilt durch Wurzel aus x² plus y².

Und was wir jetzt eigentlich zeigen wollen ist, dass dieser Grenzwert hier nicht gleich Null ist.

Dazu müssen wir also das konkrete Folgen xN und yN wählen, die gegen den Nullpunkt gehen, sodass der Grenzwert von diesem Ausdruck für diese spezielle Wahl von xN und yN ungleich Null ist.

Also machen wir noch mal ein paar Versuche. Versuch eins, das einfachste ist immer sowas zu machen wie xN ist gleich eins durch N und yN ist schon gleich Null.

Dann geht quasi diese Folge auf dem x-Achse von positiv gegen Nullpunkt, das kann man mal probieren.

Aber wir sehen jetzt ziemlich schnell, dass es nicht funktionieren kann, wegen dieses Produktes hier im Zähler, der steht an xN mal yN hoch drei und weil yN schon gleich Null ist, käme da Grenzwert gleich Null raus.

Also das bringt uns nichts. Das zeigt auch nicht, dass der Grenzwert tatsächlich gleich Null wäre, weil es ja nur eine spezielle Folge ist, aber es widerlegt nicht das, was wir gerne widerlegen wollen.

Genauso funktioniert nicht xN gleich Null und yN gleich eins durch N für zum gleichen Ergebnis.

Versuch drei, was macht man dann? Na gut, dann nimmt man mal beide ungleich Null, z.B. xN ist gleich eins durch N und yN ist auch eins durch N.

Damit sollte man es auf jeden Fall immer probieren. Das ist eine relativ einfach Art und Weise da ranzugehen. Das ist eine konkrete Folge, die gegen den Nullpunkt geht. Schauen wir mal, was da rauskommt.

xN mal yN hoch drei durch xN² plus yN hoch vier. Jetzt schreibe ich mal kurz das hier schon gleich daneben.

Das ist ja, das hier ist der große Bruchstrich, also können wir das beides hier so hinschreiben. xN² plus yN².

Was ist das? Eins durch N mal eins durch N hoch drei ist dann eins durch N hoch vier, geteilt durch eins durch N² plus eins durch N hoch vier.

Mal Wurzel aus eins durch N² plus eins durch N² ist also Wurzel aus zwei durch N², also Wurzel aus zwei durch N.

Okay, kann man da was anfangen? Wir wissen, wie man mit solchen Grenzwerden umgeht, da müssen wir mal höchste Potenzen ausklammern.

Mutbezielen wir doch mal Zähler und Nähler mit, ja, sagen wir mal N hoch drei. Also eins durch N durch, so N hoch drei,

tun wir mal zwei Potenzen dorthin, eins plus eins durch N², also mal N hoch drei oben und unten, eins durch N unten eins plus eins durch N², mal Wurzel zwei.

Also ich habe oben drei Potenzen von N dazu getan, deswegen wird das eins durch N hoch vier in eins durch N.

Und unten habe ich N² auf die erste Klammer gesetzt und N auf die zweite, auf den zweiten Ausdruck, das heißt N² hier drauf gesetzt ist dann eins plus eins durch N².

Und N auf diesen Ausdruck, da bleibt Wurzel zwei stehen. Und jetzt sehen wir, okay, das geht gegen null, das untere geht auch gegen, ja das geht gegen Wurzel zwei,

dann kombiniert das hier gegen null, das heißt, ja das zeigt auch nicht das, was wir zeigen wollen. Also wenn man an dieser Stelle nicht bereits weiß,

dass die Funktion nicht total differenzierbar sein soll, würde man sich jetzt wahrscheinlich überlegen, ja okay, ist sie vielleicht doch total differenzierbar,

man versucht es zu zeigen, aber die Aufgabe ist jetzt hier, man soll zeigen, dass diese Funktion nicht total differenzierbar ist,

das heißt wir wissen schon, es muss irgendwie gehen, das heißt wir müssen jetzt irgendwie clevererweise finden, diese Folge zu wählen, sodass tatsächlich ein Grenzer drauf kommt, der nicht null ist.

Und jetzt muss man so ein bisschen kreativ sein, ja. Also, allzu schlimm werden diese Beispiele nicht gewählt, ja.