Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Meine Damen und Herren, herzlich willkommen. Wir haben beim letzten Mal angefangen mit dem

Kapitel 7, Methode der Finiten Elemente, also im Prinzip, wie bekomme ich die Elementmatrizen.

Wir waren dabei ausgegangen von dem Prinzip von Dallam-Beyer in der Fassung von Lagrange,

in das man dann hier Nährungsansätze einsetzen kann für die wahre Verschiebung, die steckt hier

als Sigma von Epsilon von U drin und den virtuellen Größen, den virtuellen Verschiebung oder den

virtuellen Verzerrung. Alternativ, das sieht dann im Prinzip genauso aus, wenn ich das Delta U

durch ein W ersetze, durch eine Wichtungsfunktion, bekomme ich mehr oder weniger dieselbe Gleichung

aus der Methode der gewichteten Residuen. Die Besonderheit der FEM war jetzt, dass ich mein

Gesamtgebiet hier, also diese Integrale über das Volumen und den Spannungsrand aufteile in einzelne

Integrale über die Elemente, also in die ich diskritisiert habe und die Summe bilde. Da

diese Prinzip von Dallam-Ber, die in Gleichgewichtsbedingungen äquivalent ist, also

es ist praktisch eine andere Form der Gleichgewichtsbedingungen, muss das Prinzip auch elementweise gelten. Das heißt,

ich kann das für ein einzelnes Element hier hinschreiben. Die Integrale gehen jetzt nur über

das Elementvolumen und den Elementrand. Wir haben dann diese Einsätze hier, die wir noch formulieren

müssen, kann man einsetzen, das als Matrix-Schreibweise hin tun, Stoffgesetz, Verschiebungsverzerrungsrelation

einsetzen und dann bekomme ich nach Umsortieren diese Gleichung, bei der ich die virtuellen Knotenverschiebungen,

beliebige Koffizienten herausziehen kann. Das Ganze soll Null sein, wenn diese beliebig sind hier, muss

die Klammer verschwinden, muss Null sein und es bleibt dann dieser Ausdruck übrig, bei dem ich

die Knotenverschiebungen hier und die Knotenbeschleunigung, wenn ich denn in der Dynamik bin,

sozusagen nach hinten aus der Integralen jeweils rausziehen kann und hier vorne ein Integral über

das Elementvolumen stehen habe, einmal hier mit rho h transponiert h, also h ist die Matrix der Formfunktion,

das gibt mir die Massenmatrix, die mit den Knotenbeschleunigungen multipliziert wird und

hier ein Term, in dem die Ableitung sozusagen die Verschiebungsverzerrungsrelation drin steckt,

mit der Stoffmatrix, das gibt mir die Steifigkeitsmatrix und hier rechts sind äquilente Knotenlasten,

sodass ich das Ganze als Elementmatrix Formulierung hinschreiben kann, mit der

Elementmassenmatrix, der Elementsteifigkeitsmatrix, einem Lastvektor aus Volumenlasten und einem

Lastvektor aus Randlasten. Das ist also sozusagen das Kochrezept, das man sich jetzt einmal hergeleitet

hat für die lineare Elastodynamik mit Trägheitsterm hier und jetzt muss ich sozusagen nur noch für

jeden Elementtyp, den ich entwickeln möchte, die richtige Formulierung hier einsetzen, die richtige

Matrix, also hier das entsprechende Stoffgesetz hier, also Stab, Balken, was weiß ich, Scheibe,

Continuum, die entsprechenden Ableitungsoperatoren, die hatten wir alle schon mal, hier die Dichte und

die entsprechenden Ansatzfunktionen und das Ganze wollen wir jetzt am Beispiel des Stabes uns einmal

anschauen. Geht das heller hier? Genau. Das ist also der Abschnitt 7.2 Stab, also der aller

einfachste Fall. Wir haben hier meinetwegen einen langen Stab und wie die Randbedingungen aussehen,

sei erstmal dahingestellt. Dieses Gesamtgebiet, das ist jetzt ein eindimensionales Gebiet, der

Stab hat ja nur eine x Auslenkung, das teile ich jetzt, indem ich hier Knoten einführe in Elemente,

und die Idee der Finite Element Methode war jetzt Ansatzfunktionen zu wählen, die lokal sind. Wenn

ich jetzt das ganz normale Ritz- oder Gajorkenverfahren nehmen würde, würde ich einen Ansatz über das

Gesamtgebiet wählen. In der Finite Element Methode wähle ich die Ansätze nur noch elementweise,

das hatten wir beim letzten Mal zum Schluss uns angeschaut. Das heißt, ich habe am Knoten betrachte

ich eine Auslenkung und habe dann eine Verschiebung, die nach links und rechts linear, im einfachsten

Fall zum nächsten Knoten abfällt. Das sei mein Wing der Knoten i, der Knoten j hier. Das wäre

also die Verschiebungsansatz für eine Verschiebung am Knoten j, für die Knoten i. Ich sehe das mein

Wing so aus und was man jetzt macht ist, man betrachtet das ganze elementweise, das heißt,

ich schneide mir dieses Element heraus, bekomme, aus dem Elementverband heraus schneide folgendes

Gebilde, das für ein lokales Koordinatensystem ein zunächst einmal x, habe hier den Knoten i und

den Knoten j. Das ganze Ding hat eine Länge L und eine Dehnsteifigkeit E mal A natürlich und wenn

ich das freischneide, dann macht man das bei der Finite Element Methode jetzt nicht so, wie sie das

aus der technischen Mechanik kennen, dass man am positiven Schnittufer positive Schnittgrößen in