Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, meine Damen und Herren, fangen wir an. Wir hatten uns beim letzten Mal mit den Formfunktionen

beschäftigt und uns verschiedene Typen von Formfunktionen angeschaut, für ein-, zwei- und

dreidimensionale Probleme. Wir hatten gesehen, dass man durch Multiplikation der eidimensionalen

Formfunktion die Lagrange-Interpolation, also die Lagrange-Formfunktion bekommen kann und

dass man durch Wecklassen bestimmter Knoten ein fast genauso gutes Ergebnis bekommen kann und dann

auf diese Serendipity-Elemente kommt. Jetzt ist die Frage, welche Typ-Formfunktion oder welche

Anforderungen müssen die Formfunktion erfüllen. Wir hatten schon gesehen, dass eine Anforderung,

die nötig war, um die Randbedingungen einzubauen, ist, dass die Formfunktion an ihrem jeden

bei den Knoten, zu dem sie gehört, den Wert 1 annimmt und an allen anderen Knoten den Wert 0.

Das ist so eine Minimalforderung. Da kann man zum Beispiel polynomiale Formfunktionen, also wie

die 1D-Stabfunktion, linear, quadratisch und so weiter zumindest qualitativ sehr schnell hinmalen

und natürlich dann auch entsprechend als Polynome konstruieren. Wir wollen uns heute mit weiteren

Anforderungen an die Formfunktionen beschäftigen. Das sind zum einen Stetigkeitsforderungen,

die hängen ab von der höchsten Ableitung im PDVV, also von dem Problem, dem physikalischen

Problem, das ich da am Wickel habe. Dann ist eine Forderung noch, die erfüllt werden muss,

die Darstellbarkeit von Starkörperverschiebungen und die Darstellbarkeit wenigstens konstanter

Verzerrungszustände. Die letzten beiden sind so Minimalforderungen, die man erfüllen muss. Die

erste ist tatsächlich eine Forderung, die nötig ist, damit das Finitelementverfahren nachher gegen die

richtige Lösung konvergiert oder überhaupt die richtige Lösung approximiert. Da wollen wir uns

heute zunächst einmal mit beschäftigen. Das machen wir an der Tafel. Also wir fangen an, 7.41,

Stetigkeit. Wenn ich mir anschaue, die Formfunktion jetzt wieder einlehe, damit man schön zeichnen

kann, ich habe hier meinetwegen irgendwie ein eindimensionales Gebiet, das zerlege ich in

Elemente und ich benutze meinetwegen jetzt quadratische Ansatzfunktion. Das heißt, ich

habe in jedem Element drei Knoten, also immer noch im Element Mittelpunkt hier ein Extraknoten,

also ich möchte quadratische Ansatzfunktion haben und ich habe meinetwegen irgendetwas, da sehen die

Verschiebungswerte, wenn ich die an den Knoten nach oben auftrage, dann wird innerhalb eines

Elementes quadratisch interpoliert, das heißt, ich habe hier diese Interpolation, ich habe hier in

diesem Element eine solche Interpolation und in diesem Element diese Interpolation. Was man

jetzt schon sieht, ist, dass die Stetigkeit dieses Ansatzes nur die Funktion selber trifft. Ich habe

hier Übergang von diesem Element zu diesem einen Knick, das heißt, nur wie man sagt C0-Stetigkeit,

das heißt, die Funktion wird nur bis zur 0. Ableitung, das ist die Funktion selber, stetig

interpoliert über das Gesamtgebiet. Schon die erste Ableitung ist nicht mehr stetig,

die ist hier links von dem Knoten anders als rechts und natürlich aller höheren Ableitungen

genauso. Für den Stab reicht das. Wir werden gleich sehen, dass es für den Balken, Euler-Bernoulli-Balken,

nicht reicht. Es gibt die Möglichkeit, höhere Ableitungen, also das Stetiger zu machen,

indem ich die Ableitung selber als Unbekannte einführe, also höhere Stetigkeit durch Einführen

von Ableitungen als Knoten variablen. Also zum Beispiel, das werden wir gleich für den Balken

nachher brauchen, ist der Element-Verschiebungsvektor, enthält die Verschiebungen, meinetwegen W1 und W2

an den beiden Knoten 1 und 2 und dann noch als weitere Größe W1-Strich und W2-Strich. Das heißt,

ich schleppe die Ableitung selber, die ich stetig haben möchte, als eine weitere Knotengröße mit.

Wie man das macht, werden wir gleich sehen, wenn wir den Balken behandeln. Das würde jetzt C1-Stetigkeit

sichern, also bis zur ersten Ableitung bei wahlgeeigneter Ansatzfunktion. Wenn ich C2,

C3, C4-Stetigkeit haben wollte, müsste ich halt auch noch die zweite, dritte, vierte Ableitung

und so weiter mitnehmen im unbekannten Vektor. Dann stelle ich also sicher, dass am Knoten 1 nicht

nur eine bestimmte Durchbiegung W herrscht, sondern auch eine bestimmte Neigung, die dann links und

rechts, wenn ich das richtig mache, gleich ist. Also Stetigkeit gewährleistet ist. Die Frage ist

natürlich jetzt, welche Ableitung brauche ich denn überhaupt? Also bis wohin muss ich gehen? Für den

Stab hatten wir gesehen, brauchte ich nur die Verschiebung selber mitzunehmen. Die Ableitung

haben gar nicht interessiert. Es gibt so eine einfache Merkregel. Stetigkeit um 1