Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen Nürnberg präsentiert.

Herzlich Willkommen meine Damen, meine Herren!

Schön, dass ihr noch hier gequbrιο Edition gekommen ist.�� Wir sind schon einstellig inzwischen.

Nicht schlecht! Das ist wohl neuer Rekord.

Trotzdem müssen wir weitermachen.

Wir haben uns beim letzten Mal das isoparametrische Konzept angeschaut und hatten die Geometrie

ebenfalls durch Formfunktionen und damit ein beliebiges Viereck, das kann man mit Dreiecken

genauso machen, oder Hexaredelelement im Dreidimensionalen abgebildet auf ein Einheitsquadrat oder ein

Einheitswürfel im Dreidimensionalen, sodass man schöne Integrationsgrenzen bekommt.

Also das Integral läuft dann über diese natürlichen Koordinaten R und S.

Trotzdem lässt sich dieses Integral hier außer für Sonderfälle nicht analytisch lösen.

Der Grund ist, dass hier diese determinante J, die hier einmal bei der Transformation

des Oberflächenintegrals auftaucht, auch in den Ableitungsopparatoren steckt, und zwar

eins durch, also im Nenner, sodass hier eins durch die determinante J auftaucht.

Hier nochmal der Term eins durch die determinante J, einmal kürze sich heraus, aber einmal bleibt

diese Determinante der Jacobi-Matrix im Nenner stehen. Und wenn das Element beliebig geformt

ist, irgendwie beliebig verzerrt ist, dann ist diese Determinante keine Konstante, sondern

ebenfalls ein Polynom in R und S, sodass der Integrant hier komplett eine gebrochen

rationale Funktion ist, also irgendwie Polynom durch Polynom. Das lässt sich nicht mehr analytisch

integrieren. Das heißt, man ist gezwungen, diese Integrale numerisch zu lösen, trotzdem

ich jetzt hier diesen Aufwand gemacht habe, mit dem isoparametrischen Ansatz das auf vernünftige

Integrationsgrenzen zu bringen. Und da wollen wir heute weitermachen, das ist jetzt das

letzte Kapitel schon der Vorlesung, numerische Umsetzung heißt das, also numerische Aspekte,

die so bei der finiten Elementmethode auftreten. Und der erste Punkt ist tatsächlich 8.1,

die numerische Integration dieser Ausdrücke für die Steifigkeitsmatrix, auch für die

Massenmatrix und eine bestimmte numerische Integration nennt man auch eine Quadratur.

Also im Englischen läuft das unter Quadrature Rules, Quadratur Regeln heißt, ich möchte

über ein festes Intervall integrieren. Numerische Integration taucht auch auf bei der Lösung

von Differentialgleichungen, wenn ich im Zeitbereich mich befinde, dann nennt man das auch numerisches

integrieren der Differentialgleichungen in der Zeit, Zeitschrittintegration. Das ist

was anderes als dieses Lösen von bestimmten Integralen, also feste oberen und untere Grenze.

Die Grundidee, jetzt ganz losgelöst von diesem speziellen Problem ist, dass ich habe ein

Integral a bis b, irgendeiner Funktion f von x dx zunächst einmal und wenn ich das numerisch

lösen möchte, dann mache ich aus der unendlichen Summe hier, über infinitesimal viele Streifen

dx, wieder eine endliche Summe. Ich schreibe also wieder Summe hin, i gleich 1 bis n und

dann werte ich die Funktion nur an bestimmten Stellen x i aus, die im Intervall a bis b

liegen und man multipliziert diese Funktionswerte noch mit Faktoren w i, das sind die sogenannten

Integrationsgewichte. Also man nennt x i sind die sogenannten Integrationspunkte und w i

sind die Integrationsgewichte. So und jetzt ist das Ziel mit möglichst wenigen Punkten,

also einem kleinen n hier, dieses richtige, das eigentliche Ergebnis des Integrals möglichst

gut anzunähern. Ja, das ist im Allgemeinen natürlich nur eine Näherung, aber wir werden

sehen, dass man für bestimmte Fälle auch exakte Lösungen produzieren kann. Also Ziel

ist hohe Genauigkeit mit möglichst wenigen Integrationspunkten. So, wobei hohe Genauigkeit

dazu definiert man sozusagen mal so einen Testfall und der übliche Testfall, den man

integrieren möchte, sind Polynome. Das heißt also man möchte ein Polynom hier, also f von

x soll auch ein Polynom in x sein, mit möglichst wenig Stützstellen ein möglichst hohes Polynom

im besten Fall exakt integrieren. So und da gibt es zwei grundlegende Klassen von Methoden.

Als erste sind die sogenannten Newton-Codes-Formeln. Die besitzen equidistante Stützstellen, also

meine Integrationspunkte sind gleichmäßig über das Intervall verteilt und die aller

einfachste Variante ist hier das Rechteckverfahren. Ja, die Idee ist, also das ist nun das aller