Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, meine Damen und Herren, herzlich willkommen, die letzten Moikana hier zur Vorlesung

Finite Elemente. Wir haben beim letzten Mal die numerische Integration der Elementmatrizen

uns angeschaut, also insofern der Steifigkeitsmatrix, aber auch die Massenmatrizen und eigentlich

auch die Elementrandkräfte oder Oberflächenlasten werden numerisch integriert. Wenn wir diese

ganzen Einheiten haben, die ganzen Elementgrößen, dann kann man die assemblieren zum Gesamtsystem.

Das haben sie in den Übungen am Anfang des Semesters ja gemacht mit Hilfe der

Indextafeln und man kommt dann zum Schluss raus für ein dynamisches System hier. System

Massenmatrix mal Knotenbeschleunigung plus System Steifigkeitsmatrix mal Verschiebung

ist gleich die rechte Seite, also die äußeren Kräfte hier. Wenn wir uns zunächst mal auf

die Statik beschränken, dann sind die Beschleunigungen Null, dann braucht man die Massenmatrix nicht

und ich habe hier ein lineares Gleichungssystem zu lösen, K mal U gleich F. Wenn Sie sich

erinnern, dann war die Elementsteifigkeitsmatrizen singulär entsprechend der Anzahl der Starkörperbedingungen,

die sie im Element haben und das Gleiche gilt auch für das Gesamtsystem. Wenn Sie

einfach das System ohne Randbedingungen assemblieren, dann haben Sie für ein 1D-System 1 Starkörperfreiheitsgrad,

für ein 2D-System, auch wenn es bloß aus Scheiben besteht, die nur zwei Verschiebungsfreiheitsgrade

haben, hat das Gesamt 2D-System 3 Starkörperfreiheitsgrade, das heißt eine Translation hier in sozusagen

in X Richtung, das heißt Sie können das System horizontal verschieben in Y und Sie können

das ganze System drehen und das ohne Kräfte aufzubringen und ein dreidimensionales System

hat dementsprechend 6 Freiheitsgrade, also 3 Translation in die 3-Achtsrichtung und 3

Rotationen um jede der Achsen. Das heißt die Steifigkeitsmatrix ist entsprechend singulär

und zwar so viel Null Eigenwerte wie Sie Starkörperbewegung haben, wenn ansonsten alles richtig gelaufen

ist und um das gleiche System jetzt lösbar zu machen, hier muss man Randbedingungen vorgeben,

das heißt Sie müssen als Minimum an Verschiebungsrandbedingungen, um dieses System hier sozusagen statisch

bestimmt zu machen, mindestens entsprechend den Starkörperbewegung Randbedingungen aufprägen,

das heißt Sie müssen Verschiebungsgrößen sperren. Wie man das macht haben Sie auch

eine Übung gelernt, das heißt man kann formal, in Wirklichkeit sortiert man das nicht um,

aber formal kann man das machen, man kann sein gleiches System sortieren nach unbekannten

Verschiebungen und gegebenen Verschiebungen, die hier mit U-Quer bezeichnet sind, das sind

die vorgegebenen Verschiebungen, wenn Sie dort eine Randbedingung vorgeben ist das U-Quer

normalerweise 0, Sie halten das fest und dann kann sich der Knoten nicht in X oder Y oder

beide Richtungen verschieben, dann geben Sie die Verschiebung 0 vor, das wäre also das

normale für ein Lager, eine homogene Randbedingung, aber Sie könnten auch eine vorgegebene Verschiebung

erzwingen, Sie könnten einfach sagen die Verschiebung ist dort 5 mm, wenn Sie das sozusagen

erzwingen ist das auch eine geometrische Randbedingung, die genauso gut ist. Korrespondieren zu den

unbekannten Verschiebungen, also den Knoten die noch frei sind und den Verschiebungen

oder Freiheitsgraden die vorgegeben sind, gibt es auch entsprechende Kraftgrößen jeweils

und zwar korrespondiert zu den vorgegebenen Verschiebungen hier unbekannte Reaktionskräfte,

da immer wo Sie eine Verschiebung vorgeben ist die Kraft an diesem Knoten, die globale

Kraft unbekannt, das ist die Reaktionsgröße, das ist genauso wie wenn Sie Balken auf zwei

Stützen mit den Mitteln der Statik rechnen, dann schneiden Sie da frei an dem Lager und

haben da eine unbekannte Reaktionskraft, nichts anderes ist das hier auch, das heißt da wo

Sie Verschiebungen vorgeben sind die Kräfte unbekannt, umgekehrt gilt da wo die Verschiebungen

unbekannt sind, also normalerweise im Inneren des Körpers oder auf dem Rand auf dem Sie

Kräfte vorgeben sind die Verschiebungen halt frei, dafür sind die Kräfte bekannt und

da wo keine Kraft angreift ist die vorgegebene Kraft halt Null, aber Null ist halt auch eine

vorgegebene Größe, das heißt auf einem Rand der nicht belastet ist, also wenn ich jetzt

so eine Mechanik Kartoffel hier hin male, dann habe ich hier ein Rand meinetwegen den ich

festhalte, das heißt auf diesem Rand ist U quer gleich Null, der ganze übrige Rand,

wenn ich da keine Randbedingungen vorgebe und auch wenn ich das diskritisiert habe meinetwegen