Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, meine Damen und Herren, herzlich willkommen.

Wir waren beim letzten Mal stehen geblieben, irgendwo in der Methode der gewichteten Residuen.

Das war Kapitel 4, Methode.

Und ich hatte Ihnen, ohne dass ich das jetzt wiederholen möchte, 4, 1 war irgendwie die Grundidee, versucht klar zu machen,

dass man also in die Differentialgleichung und eventuell auch die Randbedingungen Ansatzfunktion einsetzt.

Und das war im Abschnitt 4,2 auch schon beim letzten Mal abgehandelt worden, war halt der Ansatzfunktion.

Und wenn ich jetzt halt irgendeinen beliebigen Ansatz in meine Differentialgleichung und oder Randbedingungen einsetze,

dann kann ich halt nicht erwarten, dass diese Ansatzfunktion, diese Differentialgleichung und Ansatzbedingungen erfüllt.

Das heißt, ich bekomme einen Fehler. Das ist dieses Residuum, ein Restterm.

So und um jetzt den Ansatz anzupassen, das heißt die freien Parameter des Ansatzes so zu bestimmen, dass dieser Fehler möglichst klein wird,

dann ist die Nährungslösung wahrscheinlich eine gute Nährung an die wahre Lösung, benutzt man nun die Methode der gewichteten Residuen.

Das heißt, was man macht ist, ich multipliziere diesen Fehler, den ich mache, mit Wichtungsfunktionen.

Und zwar so viele Wichtungsfunktionen, wie ich unbekannte Parameter habe, das liefert dann ausreichend viele Gleichungen.

Und man integriert dann über das Gebiet bzw. über den Rand, also über die Randbedingungen und setzt dieses gleich 0.

Das war diese Grundidee. Wir hatten uns ein bisschen unterhalten über die Wahl der Ansatzfunktion,

dass die Ansatzfunktionen entweder die Randbedingungen erfüllen können alle, aber dass die Differentialgleichungen im Gebiet nicht lösen exakt.

Dann fallen die ganzen Residuen auf den Rändern weg. Da habe ich ja die Randbedingungen exakt erfüllt.

Es bleibt nur ein Residuum im Gebiet. Dann habe ich eine reine Gebietsmethode oder ich tausche das.

Ich habe eine Lösung der Differentialgleichung, die aber die Randbedingungen nicht erfüllt. Dann kann ich diese als Näherungslösung verwenden.

Da sie die Differentialgleichung exakt erfüllt, fällt das Residuum im Gebiet weg. Es bleiben bloß Restterme Residuen auf den Rändern übrig.

Das führte auf die Randelementmethode mehr oder weniger, die wir aber jetzt hier nicht betrachten wollen.

Oder ich weiß halt gar nichts, dann habe ich Residuen sowohl auf dem Gebiet als auf dem Rand.

Eine gemischte Methode und auch die kann man jetzt noch unterscheiden nach Varianten, bei denen ich die Randbedingungen wenigstens teilweise erfülle.

Wir werden nachher sehen, dass die FEM so eine gemischte Methode ist, bei der man die Verschiebungsrandbedingungen erfüllt,

aber die Spannungsrandbedingungen oder Kraftrandbedingungen nicht erfüllt. Also dort noch ein Residuum hat.

Soweit waren wir beim letzten Mal gekommen und wir wollen uns jetzt heute im Abschnitt 4.3 über diese Wichtungsfunktion noch ein bisschen unterhalten.

Ich muss ja mein Residuum mit einer Wichtungsfunktion multiplizieren und dann integrieren.

Und wir wollen uns hier beschränken, damit die Schreibarbeit nicht so viel wird, einer reinen Gebietsmethode.

Also wir nehmen mal an, dass die Ansatzfunktionen die Randbedingungen alle erfüllen.

Dann muss ich immer nur ein Residuum schreiben, nämlich das Residuum über das Gebiet.

Das heißt, ich habe hier nur ein Residuum im Gebiet. Die Randbedingungen sind exakt erfüllt.

Sollte das nicht der Fall sein, dann kann man das ganz analog auch auf die anderen Fälle erweitern.

Aber so kann ich mich halt auf ein Teilresiduum, nämlich nur das Gebietresiduum beschränken in der Schreiberei und dann wird das einfacher.

Ja, es gibt verschiedene Varianten, eigentlich fast unendlich viele. Wir werden drei Varianten zunächst uns anschauen.

Die einfachste ist die sogenannte Teilgebietsmethode.

Das heißt, die Idee hier hinter ist, ich möchte ja eigentlich das Integral über mein Residuum, das von irgendwelchen Parametern ci abhängt, bestimmen.

Also das ist das Residuum, ich habe die Ansatzfunktion eingesetzt, das ist ungleich 0. Jetzt multipliziere ich das mit einer Wichtungsfunktion.

Und ich brauche, wenn ich i Parameter bestimmen möchte, natürlich auch entsprechend viele Wichtungsfunktionen, um hier zu einer Lese ausreichend viel Gleichung zu kommen.

Und das integriert man hier über das Gebiet Omega. So und jetzt ist eine Methode, das ist die ganze Ausgangsgleichung hier, eine Idee ist es jetzt, das Gebiet, das ich habe, das war irgendwie dieses hier Omega,

in Teilgebiete zu zerlegen, das sind noch keine Finitenelemente, das sieht jetzt zwar ähnlich aus, aber das hat mit den Finitenelementen eigentlich nichts zu tun.

Ich teile das hier einfach willkürlich in so viele Gebiete, wie ich unbekannte Parameter habe und benutze als Wichtungsfunktion folgende Größe.

Das heißt, ich habe hier Teilgebiete Omega j für Ci oder i muss ich schreiben, gleich 1 bis n und dann muss das j natürlich ebenfalls 1 bis n laufen, damit ich also ausreichend viele Gleichungen bekomme.

Teile ich also auch mein Gebiet in n Untergebiete und verwende als Wichtungsfunktion hier Wj ist einfach 1, wenn das x, also die Koordinate, das ist ja abhängig von irgendwelchen Koordinaten x hier,

in der Ortsröhre, da kann eigentlich ein Vektor aus Omega j ist und 0, wenn x nicht Omega j ist. Im Prinzip mache ich Folgendes, ich integriere halt über die Teilgebiete.

Das heißt, ich bekomme hier damit folgende R von Ci und ich integriere hier über Omega j die Omega gleich 0.

Das filtert mir sozusagen das Teilgebiet raus, ich habe also jetzt n Integrale j gleich 1 bis n über diese Teilgebiete und verlange, dass dieses Integral für jedes Teilgebiet zu 0 wird.

Das gibt n Gleichungen, wenn ich n Teilgebiete habe und aus diesen n Gleichungen, wenn ich die Integrale löse, bekomme ich halt n Bedingungen für die n unbekannten Cis hier.

Das ist nicht die schlauste Methode. In der Übung, das Beispiel aus dem Skript wird auch in der Übung vorgerechnet, anhand eines Balkens, wie gut die einzelnen Methoden sind.

Wir werden sehen, dass die Teilgebiet Methode relativ anschaulich ist, aber nicht besonders effektiv. Das ist also nicht die Methode der Wahl an der Stelle.