Ja, schönen guten Tag, meine Damen und Herren. Wir haben beim letzten Mal uns ja mit der

Massendiskritisierung und dem Einfluss dann auf die Eigenwertlösung beschäftigt und

gesehen, dass zum einen Punktmassen dazu führen, dass die Eigenwerte sinken potentiell, dass

man so die Trägheit überschätzt und das Drehfreiheitsgrade, wenn man die Lampen also zu

Punktmassen macht, das noch viel mehr überschätzen und dann die beste Punktmassenmatrix, wenn es

den Drehfreiheitsgrade gibt, auf diesen Drehfreiheitsgraden gar keine Masse oder

Trägheit hat. Was dann dazu führt, dass man natürlich für diese entsprechenden

Freiheitsgrade keinen Eigenwert ermitteln kann. Der Eigenwert ist dann unendlich, weil sozusagen

Wurzelmodale Steifigkeit durch modale Masse für irgendwelche Eigenwerte 0, also irgendwas durch

0 ist, weil die Massen halt da an der Stelle fehlen, sodass da also nicht mehr alle volle

Eigenwerte zur Verfügung stehen. Jetzt ist die Frage, warum, hatte ich ja gesagt, brauchen wir

überhaupt diese Punktmassen? In der Strukturdynamik gar nicht mal so sehr, aber es gibt Anwendungen,

wo man das unbedingt haben möchte und das ist immer genau dann, wenn ich die Bewegungsgleichung

im Zeitbereich lösen möchte. Das ist jetzt so ein bisschen Exkursgleichungen, weil das mit

Modalanalyse eigentlich gar nicht so viel zu tun hat, aber natürlich eine Aufgabe in der

Strukturdynamik sein kann, die Lösung im Zeitbereich noch zu produzieren, also eine

Zeitschrittintegration zu bekommen. Das heißt, ich habe hier mein Differentialgleichungssystem

M y 2 gepunktet plus D mal y Punkt plus K mal y ist gleich irgendein F von T, das y ist natürlich

auch von T, da schreibe ich es nicht explizit hinzu. Und ich suche direkte Lösungen im Zeitbereich,

also ich möchte das gar nicht irgendwie irgendwo hin transformieren in den Frequenzbereich oder

sowas, ich möchte einfach stumpf y von T jetzt wissen für ein gegebenes F von T. So, jetzt,

wie macht man das typischerweise? Das heißt, das erfordert das, was man eine Zeitschrittintegration

nennt. Das heißt, ich habe Anfangswerte, muss ich natürlich kennen, y zum Zeitpunkt 0 oder

dem Anfangszeitpunkt T 0 und auch die Anfangsgeschwindigkeiten muss ich kennen und

dann kann ich versuchen, mich durch die Zeit nach vorne zu arbeiten und das macht man typischerweise,

indem man jetzt erst einmal eine Diskritisierung in der Zeit vornimmt. Genau wie das Differentialgleichungssystem

durch eine Diskritisierung im Ort entsteht, aus einer FE-Lösung oder FE-Diskritisierung,

mache ich das jetzt auch in der Zeit und ich betrachte die Lösung nur noch zu einzelnen

Zeitpunkten T, T plus Delta T, T plus 2 Delta T und so weiter. Und da setze ich jetzt voraus,

dass es eine konstante Zeitschrittweite Delta T ist, aber es gibt natürlich auch Verfahren,

wo man irgendwie in jedem Zeitschritt den Zeitschrittweite, das Delta T ändern kann.

Die sind natürlich dann aufwendiger und es eignen sich auch nicht alle Verfahren dafür.

So jetzt unterscheidet man zwischen zwei großen Gruppen explizite Verfahren. Die sind dadurch

gekennzeichnet, dass ich keine Gleichungslösung brauche, wenn die Massenmatrix diagonal ist.

Genau das ist der Punkt, warum ich überhaupt diese diagonalen Massenmatrizen haben möchte.

Wenn ich eine diagonale Massenmatrix habe, dann gibt es Verfahren, bei denen ich kein

Gleichungssystem lösen muss, kein lineares Gleichungssystem, sondern ich kann einfach

so durchrechnen, weil ich brauche die Inverse der Massenmatrix dann nur und die ist, wenn

ich eine diagonalen Matrix habe, kostet die nichts, da ist die Inverse trivial. Sozusagen

brauche ich keine Gleichungslösung. Keine Lösung eines Gleichungssystems oder nur trivial

ein Gleichungssystem, das ist numerisch sehr billig, wenn die Massenmatrix diagonal ist

und eigentlich auch die Dämpfungsmatrix diagonal ist. Oder ich muss anfangen wieder

zu tricksen. Die meisten Definitionen beziehen sich erstmal auf das System ohne Dämpfung,

aber wir werden das gleich sehen. Typischerweise geht man dann aus von der DGL zum Zeitpunkt

t und man macht im Prinzip eine Art Extrapolation auf t plus Delta t. Wie man schon sicherlich

weiß, Extrapolation ist immer eine gefährliche Sache, das heißt zu sehr in die Zukunft kann

ich nicht Extrapolieren und das wird man auch bei diesem Verfahren, es gibt nur ein Verfahren,

was funktionieren vernünftig ist, auch für diese Extrapolation gibt es eine kritische

Zeitschrittweite, über die ich nicht hinausgehen kann, ansonsten wird das System oder das Verfahren

instabil. Das werden wir uns gleich anschauen nachher an dem Beispiel, was dann passiert.