Willkommen zur Vorlesung partielle Differential-Gleichungen 1, die ich gemeinsam mit Cornelia Schneider

verhalten werde. Den ersten Teil werde ich in diesen Videos und anschließenden Besprechungen

durchführen und den zweiten Teil macht dann Cornelia.

Ja, worum geht es in dieser Vorlesung? Wir werden uns mit einigen einführenden Aspekten

partieller Differential-Gleichungen beschäftigen, werden ein paar sehr wichtige Beispiele kennen

lernen und ein paar grundlegende Eigenschaften. Wir werden uns nicht besonders in Fragen wie

Rhythmen, wie man auch bei gewöhnlichen Differential-Gleichungen gewohnt ist. Existiert eine Lösung, wenn sie

existiert, ist sie eindeutig und dann gibt es noch einige Aspekte, die man sich überlegen

kann, wie sind die Eigenschaften der Lösungen. Gibt es zum Beispiel Lösungen, die nicht negativ

sind, gibt es Lösungen, die sonst irgendwelche Eigenschaften haben, wo sind die Maxima von

Lösungen oder bei zeitabhängigen partiellen Differential-Gleichungen. Da muss man sich

auch überlegen, was passiert mit der Lösung für lange Zeit. Stellt sich dann ein Gleichgewicht

ein und wodurch ist das charakterisiert? Und all diese Fragen im Prinzip werden wir hier

ein bisschen einführend in dieser Vorlesung betrachten. Wir beginnen mit ein bisschen Wiederholung,

ein paar grundlegenden Dinge, Definitionen, ein bisschen Wiederholung von gewöhnlichen

Differential-Gleichungen. Danach werden wir uns in einem längeren Kapitel vier klassische

Beispiele von partiellen Differential-Gleichungen näher anschauen, die auch quasi vier verschiedene

Typen, mal strikt ist drei Typen und einen sehr speziellen Fall, anschauen und dort einige

Methoden kennenlernen, die auch weit über diese Beispiele hinausgehen. In einem weiteren

Kapitel geht es dann um die Theorie schwacher Lösungen bei elliptischen Gleichungen. Dann

geht es vor allem um die Frage, wenn ich eine Gleichung habe und in der zweite Ableitungen

auftreten, was mache ich, wenn die Lösungen eigentlich gar nicht zweimal im klassischen

Sinn differenzierbar sind. Da gibt es verschiedenste Techniken, um trotzdem sehr schön die Existenz

und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen. Im letzten Abschnitt, wenn noch Zeit bleibt,

beschäftigen wir uns damit sogenannten parabolischen zeitabhängigen Gleichungen und deren Eigenschaften.

Gut, wie gesagt, das ist der Inhalt dieser Vorlesungen. Es gibt verschiedene danach weiterführende

Vorlesungen zur Analysis von partiellen Differentiale Gleichungen, also canonisch, partielle Differentiale

Gleichungen 2 und 3. Auch im Master gibt es Vorlesungen auf Englisch zu Modeling und Analysis

in Continuum, ich kenne nichts, wo es auch um die Analysis geht und dann auch um die

Modellierung. Die Herleitung von solchen Differentiale Gleichungen, die wir hier nur ganz kurz anschneiden,

ist zum Beispiel ein Thema in der Vorlesung mathematischer Modellierung. Andere wichtige

Punkte sind zum Beispiel die numerische Lösung von partiellen Differentiale Gleichungen.

Dafür gibt es eine eigene Vorlesung oder später Dinge wie inverse Probleme oder optimale Kontrolle,

zum Beispiel inverse Probleme, wenn man eigentlich das umdreht, was man gewohnt ist. Man kennt

nicht die ganze Gleichung, dafür kennt man die Lösung und versucht, Teile aus der Gleichung

nochmal zu bestimmen. Und da gibt es noch verschiedene weiterführende Vorlesungen,

wo dann auch Anwendungen oder sehr spezielle Aspekte auch in Seminaren usw. behandelt werden.

Ich beginne jetzt mal mit sehr grundlegenden Dingen, ein paar Notationen. Fest zu machen.

Die wir in der ganzen Vorlesung dann auch verwenden werden. Das einfachste natürlich

mal die partielle Ableitung. Also wenn wir eine Funktion f vom Rn nach R haben, bezeichnen

wir mit dxi f die partielle Ableitung nach der Variable xi. Wenn wir mehrere partielle

Ableitungen zusammenfassen wollen, benutzen wir eine Multi-Index Schreibweise. Also wir

sagen dαf ist dk1 mal nach x1, k2 mal nach x2 und kn mal nach xn abgeleitet. Funktion

f und der Multi-Index α wäre dann k1 bis kn. KI natürliche Zahlen, möglich mit der

Null. Und wir sagen k, die Summe der KI ist dann die Ordnung der Ableiter. Wenn wir zweimal

nach x1 und einmal nach x2 ableiten, dann haben wir eine dritte Ableitung effektiv gebildet.

Wir werden sehen, in den meisten Fällen, in den Beispielen, die uns interessieren, kommen

eigentlich nur erste und zweite partielle Ableitungen vor. Wenn wir alle diese Karten-Ableitungen

zusammenfassen, also alle Ableitungen der Ordnung k, dann nennen wir das einfach dk

u, also hier nochmal die Situation entnehmen, das ist auch Betrag von α und dk u wäre dann