Wir haben letztes Mal begonnen uns mit der Wärmeleitungsgleichung und der

Lösungstarstellung dazu zu beschäftigen. Zur Erinnerung noch mal die Grundlösung

der Wärmeleitungsgleichung war definiert als Funktion Phi von xt mit einem

Skalierungsfaktor 1 durch 4 Pi t hoch n halbe mal i hoch minus x Quadrat durch 4t.

Wir beachten dabei, dass die Skalierung so gewählt ist, dass das Integral über den

Rn von Phi bezüglich x immer gleich 1 ist. Also wir haben wirklich eigentlich

eine Gauss-Funktion mit Varianz 2 mal t hier gewählt und wir sehen auch, dass Phi eine

sehr glatte Funktion ist. Das ist umendlich oft differenzierbar, solange t positiv bleibt.

Bei t gegen 0 passiert natürlich eine mögliche Singularität an der Stelle x

gleich 0. Wenn wir x gleich 0 nehmen haben wir hier 1, dann haben wir hier etwas, das sich

1 durch t hoch Dimension halbe verhält, also tatsächlich gegen unendlich geht.

An allen anderen Stellen ist die Exponentialfunktion sozusagen schneller gegen 0 als dieser Vorfaktor mit

1 durch t. Jetzt können wir uns auch für Ableitungen von Phi überlegen. Beginnen wir mal mit den ersten

Ableitungen bezüglich Ort und Zeit. Wenn wir dxi Phi ausrechnen, dann sehen wir,

das ist 1 durch 4pi t hoch n halbe und dann haben wir die E-Funktion abgeleitet,

der gibt natürlich wieder die E-Funktion und dann haben wir eine innere Ableitung.

Hier ist es minus 2xi durch 4t. Das heißt wir kriegen hier raus 1 durch pi hoch n halbe,

4t hoch n halbe plus 1 mal 2xi mal e hoch minus x quadratur 4t. Das können wir auch

noch mal umschreiben. Wir können wieder benutzen, wie sah denn das Phi ursprünglich aus? 4pi t hoch n

halbe mal die E-Funktion als Phi schreiben. Also eigentlich da steht eigentlich nur noch

xi durch 2t mal Phi von x und t. Dann sehen wir für t ungleich 0 haben wir hier das Produkt wieder

von zwei unendlich oft differenzierbaren Funktionen. 1 durch t ist unendlich oft

differenzierbar, solange t positiv bleibt. Xi ist unendlich oft differenzierbar und Phi ist

dann wieder differenzierbar. Das heißt wir können einfach rekursiv immer weiter Ableitungen

ausrechnen und wir sehen auch die Form ist immer folgendermaßen, wenn ich ausrechne,

vielleicht zum Spaß noch eine zweite Ableitung aus. Dxi xj Phi, das haben wir einfach mit

Kettenregel. Dann haben wir einmal die Ableitung hier von Xi nach xj, das ist einfach ein Kronecker

Delta ij, das ist eins wenn i gleich j ist und sonst 0 mal Phi und dann mit Produktregel noch

mal Xi durch 2t mal dxj Phi. Die xj Phi haben wir eigentlich gerade ausgerechnet.

Das ist weiter gleich Delta ij durch 2t mal Phi von xt plus Xi

mal xj durch 4t Quadrat mal Phi von xt. Was wir also sehen und das können wir

das Beliebe oft weitermachen, ist das Ableitungen nach x immer von der Form sind eines Polynoms,

mit irgendwelchen Koeffizienzen, die von t abhängen, mal die Funktion Phi.

Das ist die Alpha Phi, wenn Alpha nur ein Multindex ist, so dass wir nur Ableitungen

nach x haben. Diese Ai von t sind dann beschränkt, wenn t größer als Epsilon größer als 0 ist,

dann sind die auch hier so wie 1 durch Epsilon hoch 2 in diesem Fall, bei der ersten Ableitung

so wie 1 zu Epsilon auf jeden Fall also für positives t immer beschränkt.

Jetzt erheben wir noch die Zeit Ableitung aus. Da haben wir eine Produktregel, hier haben

wir die Ableitung hier, klingen hier raus, minus 1 durch 4Pi hoch n halbe mal t hoch n

halbe plus 1 mal e hoch minus x Quadrat durch 4t.

Dann haben wir als zweites noch die Ableitung des Ts in der E-Funktion.

Dann haben wir hier einmal ein Minus aus der inneren Ableitung, einmal ein Minus, weil

wir t hoch minus 1 haben, das gibt insgesamt also ein Plus, das bleibt dann x Quadrat durch

4t Quadrat. Jetzt kann man das wieder so zusammen sammeln,

wie wir es brauchen, das ist dann minus n durch 2t mal Phi, hier hoch n halbe mal e,

die E-Funktion ergibt wieder Phi. Hier können wir es natürlich auch so machen, hier haben

wir wieder die Funktion Phi mal die innere Ableitung plus x Quadrat durch 4t.

Das sehen wir also wieder, auch bezüglich der Zeit Ableitung und natürlich dann auch

gemischten Ableitungen Ort und Zeit. Wir haben immer die gleiche Form, wir haben hier

quasi eine rationale Funktion in x und t, wobei im Nenner immer nur t vorkommt.