So wir haben uns das letzte mal mit der eindimensionalen Wellengleichung beschäftigt und dafür eine

explizite Lösungsformel hergeleitet.

Also wenn wir die eindimensionale Wellengleichung haben mit der Anfangsbedingung U0 für die

Funktion selbst und die Anfangsbedingung V0 für die Geschwindigkeit, also die Zeilableitung

von U, dann haben wir diese Formel hierher geleitet.

Wir haben, ein halbmal U0 von x plus t plus U0 von x minus t und ein halbmal Integral

von V0 von x plus s und V0 von x minus s.

Im eindimensionalen ist das sozusagen ein triviales Mittelwertintegral über eine Sphäre.

Die Sphäre in einer Dimension besteht ja nur aus den zwei Randpunkten.

Das heißt wir können das künstlich jetzt mal schreiben hier, als ein Mittelwertintegral

über die Sphäre mit Radius t, genau diese beiden Punkte, um x, x plus t und x minus

t von U0 und dann haben wir ein zweites Integral, ein Mittelwertintegral, sozusagen über die

Sphäre mit Radius s von V0 und das Ganze dann nochmal aufintegriert in der Zeit.

Wir sehen schon, das wäre eine Formel, die könnte auch in höherer Dimension funktionieren

oder so etwas ähnliches und wir werden sehen, tatsächlich kriegen wir sowas raus, allerdings

interessanterweise nur in geraden Dimensionen.

In ungeraden Dimensionen sieht die Lösungsformel anders aus und insbesondere reicht es dort

nicht, über Sphären zu integrieren, sondern man integriert dort über die ganze Kugel.

Das hätte physikalisch einen sehr komischen Effekt, wenn ich über die ganze Kugel integriere,

nämlich, dass der Schall eigentlich zur ganzen Zeit noch da ist.

Über dieses Integral kann ich so interpretieren.

Alles was sozusagen zum Zeitpunkt t vorher hier war im Punkt, in einem Punkt einer gewissen

Entfernung ist jetzt bei mir und danach sozusagen betrifft es mich nicht mehr.

Ich höre also sozusagen jedes Schall Signal eigentlich nur einmal.

Wenn ich über das volle Volumsintegral hier integrieren würde, dann hieße das der Schall,

der sozusagen komplett irgendwann ausgesandt wurde, bis zu einer gewissen Zeit vorher,

ist immer noch da und verschwindet dann erst später.

Also dann würden sich diese ganzen Sachen überlagern, also wenn jemand, mehrere Leute

im Raum zu verschiedenen Zeiten reden würden, würde ich das trotzdem dann immer noch gleichzeitig

hören, was natürlich nicht das ist, was wir physikalisch auch wahrnehmen.

Das heißt, wir sehen schon die Wellengleichungen in geraden Dimensionen eventuell ein bisschen

mit Vorsicht zu genießen oder werden wir dann sehen auch aus der Lösungsformel.

Okay, der physikalisch interessante Fall natürlich ist wirklich die Wellengleichung

im R3 wieder mit den üblichen Anfangsbedingungen für U und für Dtu.

Und wir wollen jetzt auch mit drei Dimensionen eine Lösungsformel herleiten, ähnlich zum

eindimensionalen Fall.

Noch eine kleine Bemerkung dazu, wir haben das bei der Poisson, bei der Wärmeleitungsgerechnung

ein bisschen anders gemacht.

Da haben wir zuerst die Grundlösung ausgerechnet und dann basierend auf der Grundlösung die

Lösungsdarstellung hergeleitet.

Wir sehen schon im eindimensionalen Fall, sowas kann es hier nicht geben.

Es kann niemals, jetzt vergessen wir zum Beispiel mal V0, wenn ich nur ein U0 habe, gibt es

keine Grundlösung mit der ich U0 falten könnte, um diese Lösung zu bekommen.

In gewisser Weise ist es eine Faltung mit einem Dirac-Delta oder mit zwei Dirac-Deltas

oder auf den Randpunkten der Sphäre sozusagen.

Also wenn man es sehr verallgemeinert denkt, könnte man sich vorstellen, es gibt sowas

wie eine Grundlösung, aber die ist keine Funktion mehr.

Deswegen wollen wir sozusagen diese Grundlösung jetzt auch nicht explizit als solche ausrechnen,

sondern wir bekommen direkt mit unserem Ansatz die Lösungsdarstellung.

Und was wir lernen aus diesem eindimensionalen Fall ist, dass der zentrale Punkt natürlich