Meine Damen und Herren, herzlich willkommen zu

noch sind wir ja bei der Statik. Wir hatten beim letzten mal aufgehört mit den Gleichgewichtsbezielen an so einem infinitesimal kleinen Stück.

Ich hatte Ihnen gezeigt, dass man auch für so ein kleines herausgeschnittenes Stück Gleichgewicht fordern kann und muss und man dann an Betrachtung

dieses kleinen, differenziell kleinen Stückchen DX entsprechende Differentialgleichungen, also Beziehungen zwischen den Größen und Ableitungen von irgendwelchen Größen

herleiten kann und dass man dann zum Beispiel durch integrieren der Streckenlast die entsprechende Schnittgröße bekommt, also zum Beispiel das Integral

Klein Q von X ist das Groß Q oder Klein N von X als Streckenlast in normalen Richtungen ist die Normallast oder Normalkraft N Groß N.

Wir werden heute diese Gleichgewichtsbeziehung sowohl an Teilsystemen als auch an so kleinen herausgeschnittenen Teilchen, also diese differenziellen Beziehungen

benutzen, um Schnittgrößenverlauf oder Verläufe an Balken und Stäben zu ermitteln, das heißt die Normalkraft, die Querkraft und das Moment.

Und das ist der Abschnitt 1 Punkt 7 2.

Gerade Balken, das heißt wir wollen zunächst einmal den Fall betrachten, dass die Achse dieses langen, schlagenden Bauteils eine Gerade ist, also nicht gekrümmt ist.

Alle Querschnittschwerpunkte liegen dann auf einer Geraden und wir wollen annehmen, dass die Belastung durch Einzelkräfte, Einzelmomente oder Streckenlasten erfolgt.

Und wenn irgendwie schräge Lasten da sind, muss man die halt zerlegen in Längs- und Querrichtung.

Wir fangen mal an mit dem Beispiel 1 und das zeigt, wie man die Gleichgewichtsbedingungen ausnützt am Teilsystem.

Das heißt ohne diese differenziellen Beziehungen zu benutzen, das heißt ich habe hier einen Balken, der soll hier durch einen Festlager gelagert sein, hier durch einen Loslager und der ist belastet

durch äußere Lasten, das ist ungefähr ein Drittel geteilt hier, L, L, L.

Dann soll hier über dem ersten Drittel der Länge eine konstante Streckenlast Q0 wirken.

An diesem Punkt hier, gerade bei L, also hier ein Drittel, soll auch noch ein Einzelmoment M angreifen.

Also gerade hier und bei noch einmal L weiter greift hier eine Kraft F an und der Winkel unter dem die angreift, sei gerade 45 Grad.

Das ist M0 hier, das ist von außen vorgegeben und damit die Rechnung nachher etwas einfacher wird, ist gegeben, das M0 soll gerade sein Q0 mal L²

und F ist Wurzel 2 Q0 mal L. Das ist jetzt willkürlich in der Aufgabenstellung so vorgegeben, dass man nachher das schön zusammenfassen kann.

Das wird in den Prüfungen auch mit unter vorkommen, also wenn da solche Angaben sind, Moment ist gleich irgendwie Q0 mal L² oder F mal L oder F mal L³ und dergleichen

oder die Kraft steht im Verhältnis zum Moment und es ist hier irgendwas gegeben, dann ist das immer deshalb gemacht, damit sie hinterher auf halbwegs vernünftige glatte Ergebnisse kommen.

Das heißt, wenn so etwas gegeben ist und sie kriegen dann als Auflagerreaktion irgendwie 781³66 raus mal F, dann riecht das danach, dass das falsch ist.

Also wenn da was völlig Krummes rauskommt, also was echt abstrus ist, also nicht 234½¾¼ Wurzel 2 oder Pi oder irgendwie so etwas halbwegs glattes, dann liegt der Verdacht nahe, dass sie sich verrechnet haben.

Insbesondere wenn solche Angaben gemacht sind, die dienen ja dazu, dass sie hinterher vernünftig kürzen können in ihren Ergebnissen. Nur als kleinen Hinweis für die Prüfung, also wenn da sehr krumme Ergebnisse rauskommen,

also tierisch lange Brüche, die man nicht kürzen kann oder so was, dann ist das wahrscheinlich falsch.

In der Praxis natürlich kann man sich nicht darauf verlassen, dass immer etwas glattes rauskommt.

Da kann das natürlich sein, aber in der Prüfung ist es meistens die Aufgaben so designt, dass das hinhaut, damit sie eine Chance haben, das selber zu kontrollieren und natürlich auch damit wir leichter korrigieren können.

Das ist durchaus gewollt. So, also nach diesem kleinen Ratschlag, wie geht man an die Aufgabe ran?

Man beginnt mit der Bestimmung der Auflagerreaktion. Das heißt, man schneidet frei.

Dazu zeigne ich mir das symbolisch nochmal hin. Also ich habe hier diesen langen Balken. Über dem ersten Drittel habe ich hier Q0.

Ich habe hier das Moment angreifen. Ich ratte das mal hier schon hin. Q0L². Und das F, das ja hier so wirkt, das kann ich gleich zerlegen.

In eine horizontalen und eine vertikalen Kraft. Ja, und jetzt sehen Sie schon F. Wenn ich das zerlege mit Sinus und Cosinus 45 Grad, dann ist das jeweils 1 durch Wurzel 2 oder Wurzel 2 halbe.

Da ich F gerade zu Wurzel 2 mal Q0L gewählt habe, bekomme ich hier Q0 mal L und Q0 mal L in vertikaler und senkrechter Richtung, wenn ich das hier so zerlege.

Also das ist der Hintergrund, warum hier das Wurzel 2 eingeführt wurde, damit Sie hier nicht mit Wurzel 2 jetzt weiter rechnen müssen.

Gut, jetzt kann man sich das hinschreiben. Zum Beispiel ganz stur Summe der Kräfte in X Richtung ist gleich Null. Die Auflagerkräfte natürlich noch.

Ich habe hier A vertikal, A horizontal und hier das B. So, einfach in horizontaler Richtung habe ich hier A horizontal und dem steht entgegen dieser Anteil hier minus Q0 mal L.

Daraus folgt, dass das A H gleich Q0 mal L ist. Aus Summe der Kräfte in Z Richtung gleich Null.

Wir erinnern uns, dass nach dem üblichen Balkensystem X ein Balkenlängsachse zeigt und Z nach unten, ist die positive Z-Rechtung nach unten.

Dann wirkt hier die Resultierende der Streckenlast. Die kann ich zusammenfassen hier zu einer Resultierenden.

Ich nehme mal eine neue Farbe. Schweinchenrosa.

Ich kann das Q0 zusammenfassen zu einer Resultierenden, indem ich das integriere über die Länge, über die es wirkt. Das ist hier von Null bis L.

Die Kante von Null bis L wirkt einfach Q0 mal L. Der Angriffspunkt hier ist der Schwerpunkt dieser angreifenden Kraft, L halbe.

Das brauche ich nachher für einen Moment. Die Resultierende ist hier Q0 mal L. Dazu kommt noch einmal dieser Anteil hier.

Also plus noch einmal Q0 mal L und minus AV minus B. Das kann ich noch nicht auflösen, weil ich habe das AV nicht und das B nicht.

Jetzt könnte ich noch Summe der Momente hier angeben, meinetwegen um den Punkt A gleich Null.

Da wirkt dieses Q0 mal L hier mit dem Hebelarm L halbe. Das gibt also Q0 mal L Quadrat halbe und es dreht in negative Richtung, also minus.

Es dreht in positiver Richtung dieses Moment plus Q0 L Quadrat. Es dreht wiederum entgegengesetzter Richtung dieser Anteil hier minus Q0 mal L.

Das ist die Kraft mit dem Hebelarm hier 2L. Also steht hier 2L Quadrat und es dreht in positiver Richtung das B mit dem Hebelarm 3L.

Daraus kann ich das B ausrechnen und B folgt hierzu ein halb Q0 mal L. Das kann ich jetzt dort oben einsetzen und bekomme raus AV ist gleich 3 halbe Q0 mal L.