Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Was noch fehlt, ist sozusagen der eigentliche Anteil Festigkeitslehre.

Das heißt die Bewertung dieser Verformung und Belastungszustände,

das werden wir auf nach Weihnachten verschieben, das wird erst dort kommen.

Wir werden jetzt ein Thema einschieben, das einen alternativen Zugang zur Verformungsberechnung darstellt.

Sie haben in den letzten Wochen kennengelernt, die Stimmung der Verdrehung, Torsion, Längung oder Durchbiegung

durch Ausnutzen der differenziellen Beziehungen.

Also zum Beispiel dieses EIW4 gestrichen ist gleich die Streckenlast, also die Differentialgleichung des Bernoulli Balkens

oder entsprechender Gleichung für Stab und Torsionsstab.

Es gibt eine andere Möglichkeit Verschiebungen auszurechnen und zwar über die Betrachtung von Arbeits- bzw. Energieausdrücken.

Das ist jetzt der Abschnitt 2.5.

Energiemethoden der Elastostatik.

Also eine Alternative zu dem, was Sie eigentlich schon können und häufig der einfachere und elegantere Weg.

Hintergrund ist, dass wenn ich einen verformbaren Körper belaste mit äußeren Kräften, dann leisten diese äußeren Kräfte Arbeit.

Arbeit ist Kraft mal Weg im weitesten Sinne.

Diese Arbeit, die ich hier jetzt von außen leiste, indem ich jetzt mit den Händen diesen Klotz zusammendrücke,

da leiste ich ja Arbeit, indem ich Kraft mit der Verschiebung hier Arbeit leiste,

die wird in dem Block gespeichert durch elastische Verformungsenergie.

Das heißt, ich habe Energie gespeichert, die im elastischen Fall auch wieder reversibel ist.

Das heißt, ich kann die wieder bekommen, indem ich den Block wieder entspanne, dann leistet dieser Block Arbeit.

Das heißt, ich könnte das jetzt als gespannte Feder irgendwo drunter legen, dann würde er sich entspannen und irgendwas anheben, also seinerseits wieder Arbeit leisten.

Das heißt, die von außen geleistete Arbeit wird als innere Energie zu einem verformbaren Körpers gespeichert.

Das hängt natürlich irgendwie mit den Kräften und den Verschiebungen und den Spannungen und den Verzerrungen zusammen.

Diese Beziehung kann man ebenfalls ausnutzen, um Verschiebungen zum Beispiel auszurechnen.

Und darum soll es gehen.

Dazu müssen wir zunächst einmal so ein paar Begrifflichkeiten klären.

Der erste Abschnitt ist der Ausdruck der spezifischen Formänderungsenergie.

Das ist die innere Energie, die durch elastische Verformung des Körpers hier gespeichert wird, indem ich seine Form ändere.

Also irgendwie verformen wir hier, dann speichert der Energie darin und die spezifische Formänderungsenergie ist auf das Volumen bezogene Energie, also Energie, die pro Volumenelement hier in so einem verformten Gebilde gespeichert ist.

Wir wollen die Formänderungsenergie oder Energie in solchen Gesprächen heißen auf Pi und die spezifische wollen wir mit Pi Stern bezeichnen.

Also das ist die spezifische Formänderungsenergie und das ist die pro Volumenelement irgendwie gespeicherte mechanische Form.

Mechanische Energie, also normalerweise elastische Energie.

Natürlich kann der Körper auch noch thermisch vielleicht Energie speichern, indem sie ihn heiß machen oder irgendwie sonst wie mit Energie füllen.

Chemische Energie, sie können ihn verbrennen, setzen sie auch Energie um, aber hier ist mechanische Energie gemeint.

Wir können uns das an einem Beispiel mal irgendwie verdeutlichen in irgendeiner Form.

Wir betrachten ein kleines Stückchen Material hier, irgendwie der Länge delta L mit hier der Querschnittsfläche delta A.

So und jetzt mache ich Folgendes. Ich verforme den Körper und zwar zunächst einmal einachsig, das heißt ich länge den hier um ein Stück x.

Also das soll die x Richtung sein hier nach vorne. Ich ziehe den einfachen Stück auseinander, dann habe ich ja seine Form geändert, ich habe ihn länger gemacht.

Und um das leisten zu können, muss ich natürlich Arbeit leisten. Ich muss da mit einer Kraft dran ziehen, damit er länger wird.

Und wenn ich mir jetzt vorstelle, der ist hier hinten irgendwie festgehalten, dann ziehe ich hier vorne mit einer Kraft dran F.

Und die Arbeit, die ich jetzt leiste hier, die äußere Arbeit delta W, die sogenannte, die ich hier leiste, die kann man ausrechnen.

Und zwar ist Arbeit, wie ich gesagt habe, Kraft mal Weg, allerdings jetzt im Integral, ich habe also F die Kraft x mal das dUx.

Also ich habe eine aktuelle Kraft und multipliziert mit einem kleinen Stückchen dUx, gibt ein kleines dW, eine kleine Arbeit.

Und nun kann das Fx hier, die Kraft, die ich hier brauche, natürlich sich mit dem Weg ändern.

Typischerweise je weiter ich den Stab auseinanderziehe, desto größer ist die Kraft, die ich da brauche.

Das heißt, wenn ich weiter zusammenstauche, am Anfang geht das relativ leicht, das wird jetzt immer steifer vielleicht hier.

Also ich brauche immer mehr Kraft, um das weiter zusammen zu drücken. Es gibt also irgendeinen Zusammenhang zwischen dem F und der Verschiebung u.

Sodass ich das F hier mit integrieren muss zwischen mal irgendwie 0 und dem ux hier.

Das will ich aber jetzt ein bisschen umformen, wie das F von u aussieht, das werden wir nachher uns anschauen.

Ich kann natürlich sagen, das F, ich möchte jetzt auf die Formänderungsenergie raus, auf die inneren Größen, das F entsteht hier aus einem Sigma x mal die Fläche.