Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir wollen heute das Verfahren von Castigliano zu Ende bringen.

Das ist das Abschnitt 2.5.5. Das Verfahren von Castigliano.

Und zwar korrekt, was man benutzt, ist der sogenannte zweite Satz von Castigliano,

der die Berechnung von Verformungen ausgegebenen Belastungen ermöglicht.

Wir wollen das an einem kleinen Beispiel motivieren.

Das ist kein richtiges Beispiel, da ist nichts zu rechnen.

Wir stellen uns vor, wir haben hier ein Balken auf zwei Stützen.

Der ist statisch bestimmt gelagert und auf diesem Balken wirken nun verschiedene Kräfte und Momente.

Also irgendwie Einzelkräfte, das können mehrere sein, f1 bis fk.

Ich zeichne die jetzt nicht alle hin, also irgendeine Kraft fk.

Wir haben an irgendeinem Punkt, an irgendeinem anderen Punkt,

soll auch noch ein Einzelmoment mk angreifen und wir haben womöglich hier auch noch verteilte Lasten.

Und in Folge dieser Belastung wird der Balken sich irgendwie durchbiegen.

Ich zeichne mal einfach fiktiv irgendwas hin.

Und es gibt jetzt hier an der Stelle eines Lastangriffspunktes,

da wo eine Einzelkraft angreift, kann ich mir hier die Durchsenkung ausrechnen, ich nenne die mal fk.

Das ist das W, die Durchsenkung an dem Kraftangriffspunkt soll hier mit klein fk bezeichnet werden.

Und da wo das Moment angreift, interessiert mich die Verschiebung, die zu dem Moment gehört.

Das ist die Neigung hier an dieser Stelle.

Die Tangente bildet mit der Horizontalen hier irgendeinen Winkel.

Und den nenne ich psi k, das gehört zu dem Moment mk.

Also fk ist die Durchsenkung am Kraftangriffspunkt einer Kraft fk und psi k sei der Verdrehwinkel

am Kraftangriffspunkt eines einzelnen Momentes m.

Das System ist statisch bestimmt, so wie ich es gezeichnet habe,

egal wie viele Kräfte, Momente und verteilte Lasten da drauf sind,

theoretisch könnte ich, wenn das System statisch bestimmt ist, alle Schnittgrößen berechnen.

Womöglich mit hohem Aufwand, also weil ich das hier in x Bereiche unterteilen muss,

aber prinzipiell wissen wir, wie das geht.

Was man jetzt aber auch berechnen kann ist, irgendwie hier aus Strömungslehre irgendwas,

die Formänderungsenergie bzw. die komplementäre Formänderungsenergie.

Das haben wir beim letzten Mal für den Balken uns schon angeschaut.

Was wir uns angeschaut haben, das war die Formänderungsenergie eines Balkens,

da standen solche Terme drin wie das Integral von 0 bis l n² durch 2Ea dx

und dann irgendwie Integral von 0 bis l Birgmoment zum Quadrat durch 2Ei dx

und das gleiche für das Torsionsmoment.

Das war die Formänderungsenergie, wir hatten aber auch gleichzeitig gesehen,

dass für ein lineares System diese komplementäre Formänderungsenergie

gleich der Formänderungsenergie war.

Da war also gar kein Unterschied, weil das obere Dreieck halt gleich dem unteren ist.

Das heißt, diese komplementäre Formänderungsenergie ist darstellbar als quadratische Funktion der Schnittgrößen

und die Schnittgrößen hängen über die Gleichgewichtsbeziehung von den äußeren Lasten ab.

Damit könnte ich das einsetzen und könnte die Formänderungsenergie als Funktion der eingeprägten äußeren Lasten darstellen,

indem ich das einsetze.

Dann bekomme ich irgendetwas, dass das Pi quer, das gleich dem Pi ist, in diesem Fall ist gleich ein Pi von

und da steht jetzt die Fk's drin, die Mk's und irgendwelche Streckenlasten, kleinen Qk,

also F1 bis Fn und M1 bis Mn und so weiter.

Formal kann ich das so hinschreiben.

Was ich jetzt mache ist, ich möchte ja eigentlich nicht die Formänderungsenergie haben,

sondern ich möchte dieses Prinzip der virtuellen Arbeiten anwenden, wie wir beim letzten Mal kennengelernt haben.