Schönen Morgen meine Damen und Herren, suchen Sie sich einen Platz.

Ja, nochmal der Nachtrag zum letzten Mal mit dem Moment.

Die Skizze war völlig richtig, die ich gemacht habe und die habe ich nur nicht mehr an der Tasse geblickt,

was ich eigentlich zeigen wollte. Also es war alles in Ordnung.

Ich zeige mir das Moment, also die Herdehung des Moments ist gleich R Kreuz F.

Noch mal hin. Wenn man sich ein Koordinatensystem im Raum hinzeichnet,

x, y, z, dann habe ich eine Kraft, die hier an einem Punkt angreift, den ich durch R beschreiben kann.

Und das sei meinetwegen diese Kraft F. Und die greift hier halt an diesem Punkt an.

Der Ortsvektor vom Ursprung 0, mal ich zeige es mal hier hin, sei R und das die Kraft F.

Und dann wollte ich das ja zerlegen, das heißt man projiziert das hier runter, irgendwie so.

Ich habe dann hier den Anteil, ich habe das Rx genannt, hier steht x F und y F,

wenn ich das R darstelle als x F e x plus z F mal e z.

Das ist so die Notation, die im Schrift steht F Fx e x plus Fy e y plus Fz e z.

Das gleiche mache ich mit der Kraft, die kann ich auch zerlegen, hier meinetwegen in dieser Form, z Komponente irgendwie so.

Dann bekomme ich hier Anteile Fy Fx, das wäre hier das Fz, das z F habe ich nicht eingetragen, das wäre hier.

Jetzt kann ich das ganz runter projizieren hier, diesen Anteil, dann habe ich hier ein Fx, hier ein Fy.

Und jetzt kann ich mir das Moment hinschreiben, um die z-Achse positiv drehen, das heißt Drehrichtung mit dieser rechten Handregel.

Daumen zeigt in Richtung der Achse, dann dreht die Hand in positive Drehrichtung, das ist also sozusagen so herum plus um die z-Achse.

Dann dreht das Fy mit dem Hebelarm x F in positive Richtung, also x F mit dem Hebelarm x F und das Fx dreht entgegengesetzt minus y F mal Fx.

Das ist die z Komponente, ez, das ist also der Anteil des Momentes um die z-Achse und das kann man jetzt sukzessive sozusagen für die anderen beiden Ebenen auch machen,

das heißt ich kann das auch für die Rotation um die x-Achse oder die Rotation um die y-Achse machen.

Ich zeichne das jetzt natürlich nicht hin, weil dann erkennt man der Skizze gar nichts mehr.

Ich könnte auch einfach jetzt zyklig hier die Namen vertauschen, also ich benenne x in y um, y in z und z in x, das wäre sozusagen das Gleiche.

Und dann bekomme ich genau diesen Ausdruck, den ich da schon stehen hatte, dass das M gleich y F mal Fz minus z F mal Fy mal Ex ist plus,

ja jetzt muss ich das sozusagen da reinquetschen, weil ich keinen Platz mehr habe, z F Fx minus x F Fz mal Ey, also das gehört da rein,

wenn ich das in der richtigen Reihenfolge Ex Ey Ez hinschreibe. Ja, also so war die Skizze, so hatte ich die Skizze beim letzten Mal auch hingezeichnet, hatte mir irgendwie aber einen Knoten ins Gehirn gemacht und nicht mehr geblickt, was ich da tun wollte.

Okay, gut, das als Nachtrag zum letzten Mal, also dass das mit dem Momentenvektor kann man also auf diese Art und Weise herleiten und man erkennt dann sozusagen, dass das das Gleiche ist wie das Kreuzprodukt.

Also man fängt auf diese Art und Weise hier an und stellt dann fest, ah ja, okay, das ist offensichtlich das Bildungsgesetz des Kreuzproduktes und dann kann ich auch hier schreiben M ist gleich R Kreuz F und das ist dann auch die Definition des räumlichen Momentes.

In der Ebene, üblicherweise die xy Ebene habe ich halt den Fall, dass das R keine z Komponente hat, dann befinde ich mich halt nur in dieser Ebene, das heißt ich habe nur irgendwie ein Vektor hier und auch ein Kraft Vektor, der irgendwo hier liegt.

R, das Pfeil noch dran und hier diese Zerlegung, ja das wäre also mein F, dann ist das Fz0 und das Zf sind 0, dann fällt dieser Term weg, zf ist 0, fz ist 0, auch dieser Term fällt weg und es bleibt tatsächlich bloß dieser Anteil hier hinten übrig und das ist ja auch das einzige Moment,

sozusagen was es in der Ebene dann noch gibt, nämlich ein Moment um eine Achse, die senkrecht auf dieser Ebene steht.

Okay, das als Nachtrag. So wir waren beim letzten Mal dann stehen geblieben, im Punkt 1 Punkt 5, der Schwerpunkt.

Und hatten uns angeschaut, 1 Punkt 5 Punkt 1, den Kräfteschwerpunkt

paralleler Kräfte und hatten festgestellt, dass man den hinschreiben konnte als xs bis gleich 1 durch Fr Summe i gleich 1 bis n, wenn das die Anzahl der Kräfte ist,

xi mal fi und so weiter, ys war 1 durch Fr, wobei Fr die Summe der Einzelkräfte war, also der Resultierenden, i gleich 1 bis n, yi, fi und das zs gleich 1 durch Fr,

Summe i gleich 1 bis n, zi, f. So, das kann man jetzt ausnutzen, um zum Beispiel den Massenschwerpunkt eines Körpers zu bestimmen.

Und das ist jetzt, da geht es jetzt sozusagen weiter, der Massenschwerpunkt. Dazu schaut man sich an, irgendwie wieder so ein Körper, dargestellt durch so eine Kartoffel,

in Raum, das heißt, man hat hier irgendwie ein Koordinatensystem, das ist jetzt hier so orientiert, y, z.

Wir haben irgendwie die Erdbeschleunigung oder was auch immer, g, in der Form gegeben als g betragt mal einen Richtungsvektor, hier in diesem Fall wäre das der Richtungsvektor der Beschleunigung minus ey,

aber könnte irgendwie orientiert sein, wenn ich jetzt das Koordinatensystem halt irgendwie drehe, das ist ja willkürlich gewählt. Dann schaut man sich an, sozusagen ein kleines Massen- oder Volumenelement hier drin,

ich zeichne mal so einen kleinen Würfel dahin, der soll eine Masse haben, m, klein m, und weil die jetzt infinitesimal klein ist, also ich kann diesen Würfel ja zerlegen,

immer weiter und im Grenzübergang auf unendlich kleine Würfel habe ich einen differenziell kleinen Würfel dm, also wenn Sie sich überlegen an Mathematik aus der Schule,

da haben Sie ja Ableitungen, f' der Funktion ist ja df durch dx, also eine kleine Änderung Ihrer Funktion geteilt durch eine kleine Änderung Ihrer Variablen,

das ist hier Ihre Steigung, da haben Sie ja auch so einen Grenzübergang gemacht in Richtung infinitesimaler Größen und das Gleiche kann ich jetzt halt nicht nur mit einem dx einer kleinen Länge machen,

das kann ich jetzt auch mit einem kleinen Volumenteil machen und dann hat dieses unendlich kleine Volumenteil eine kleine Masse, nämlich dm.

Auf diese Masse wirkt, auf dieses Massenteilchen wirkt die Erdbeschleunigung, sodass hier eine Kraft auf das Teilchen wirkt,

und zwar der Größe auch eines dg, einer Gewichtskraft aus g mal dm, also Erdbeschleunigung mal die Masse, Masse mal Beschleunigung ist ja Kraft,

hier Erdbeschleunigung mal diese kleine Massenanteil, dieses infinitesimale Massenteilchen gibt halt auch bloß eine infinitesimale kleine Kraft,

so und die kann ich aber jetzt aufsummieren über den ganzen Körper und bekomme hier die Resultierende, das Gesamtgewicht, die Gesamtgewichtskraft dieses Körpers,

ist halt die Summe über alle kleinen Massenteilchen, die zu dem Körper gehören, ja und wenn ich jetzt summiere über infinitesimal kleine Stückchen heißt das ich integriere,