So, meine Damen und Herren, herzlich willkommen.

Wir hatten beim letzten Mal aufgehört mit der Transformation der Flächenträgheitsmomente

bei einer Drehung des Koordinatensystems.

Und ich schreibe diese Transformation noch einmal hin.

Das war i eta eta kann ich aus einem Iy Y Izz plus ein halb Iyy minus Izz und dann stand

hier Cosinus 2 Alpha plus Iy Z Sinus 2 Alpha.

Dazu senkrecht I zeta zeta als ein halb Iyy plus Izz und dann stand hier minus ein halb

Iyy minus Izz Cosinus 2 Alpha minus Iyy Z Sinus 2 Alpha.

Und das Deviationsmoment, also der gemischte I eta zeta, das ist hier minus ein halb Iyy

minus Izz und dann steht hier Sinus 2 Alpha plus Iyy Z Cosinus 2 Alpha.

So, das waren die allgemeinen Transformationsbeziehungen und wir hatten auch uns überlegt, unter welchem

Winkel des Koordinatensystems man das maximale bzw. minimale Flächenträgheitsmoment, also

aktiale Flächenträgheitsmoment bekommt, also unter welchem Winkel Alpha, I eta eta und

I zeta zeta Maximalwerte oder Minimalwerte annehmen.

Und das heißt, ich habe hier Haupt, soweit waren wir beim letzten Mal, Momente, das heißt

minimales und minimales aktiales Flächenträgheitsmoment für den speziellen Winkel Tangens 2 Alpha

tilde ist gleich 2 Iyy Z durch Iyy minus Izz, indem ich nämlich I eta eta oder I zeta zeta

nach Alpha ableite und dann gleich Nullsätze, da kommt jedes Mal dieselbe Bedingung raus,

weil das sich nur um das Vorzeichen unterscheidet und die gleiche Bedingung bekomme ich aus

der Forderung, dass das Deviationsmoment Null wird, also wenn ich diesen Winkel Tangens

also 2 Alpha hier einsetze, dann wird auch dabei das Deviationsmoment

gleich Null, das verschwindet dann genau an diesem Punkt, das ist sozusagen ein ausgezeichnetes

Koordinatensystem und diese Werte nennt man dann Hauptträgheitsmomente und das verschwindet

das zugehörige Deviationsmoment.

Die kann man jetzt ausrechnen, das haben wir noch nicht gemacht, also wir wollen uns jetzt

berechnen wie groß die sind, wir kennen den Winkel und jetzt möchte ich das sozusagen

hier oben einsetzen für Cosinus und Sinus 2 Alpha, dann habe ich aber dummerweise bloß

Tangens 2 Alpha da stehen und ich muss mir Cosinus 2 Alpha und Sinus 2 Alpha jetzt aus

dem Tangens 2 Alpha berechnen, das kann man aber relativ leicht, indem man sich überlegt,

dass das Tangens 2 Alpha hier offensichtlich die Beziehung an einem rechtwinkligen Dreieck

ist, das heißt ich kann mir ein rechtwinkliges Dreieck hinzeichnen, bei dem das hier der

Winkel Alpha Tilde ist, das ist der rechte Winkel und dann ist der Tangens ja offensichtlich,

ist es nicht Alpha, 2 Alpha muss ich schreiben, natürlich 2 Alpha ist das Argument, ist gegen

Kathete durch an Kathete und das schreibt man sich geschickterweise jetzt so hin, Iyz und

hier schreibe ich mir hin Iy, Y minus Izz halbe, das sind sozusagen wieder diese beiden

Terme Iyz und hier steht da ein halb Iy, Y minus Izz und dann ist das durch das offensichtlich

genau Tangens 2 Alpha.

So, dann kann ich mir aber jetzt Sinus und Kosinus ausrechnen, indem ich mir hier die

Hypotenuse bestimme, ich kenne die beiden Katheten, also habe ich hier das ist Wurzel aus Iy,

Y minus Izz halbe Quadrat plus Iyz zum Quadrat, einfach Geometrie am rechtwinkligen Dreieck,

so und dann kann ich mir ausrechnen Sinus 2 Alpha tilde ist gleich Iyz, also gegen Kathete

durch Hypotenuse, also das durch diese Wurzel hier Iy, Y minus Izz halbe zum Quadrat plus

das Iyz Quadrat und analog kriege ich Kosinus 2 Alpha tilde ist halt dann dieses Iy, Y

minus Izz halbe ebenfalls geteilt durch diese Wurzel, da schreibe ich es hin Iy, Y minus

Izz halbe Quadrat plus Iyz Quadrat, also durch geschicktes Ausnutzen von Winkelbeziehungen

und hier einfach Pythagoras, ja, dass ich hier das so ausrechnen kann.

Dann kann ich das jetzt einsetzen für Sinus 2 Alpha und Kosinus 2 Alpha und bekomme daraus

jetzt hier einsetzen in die Transformationsbeziehung dort oben hier ein Iyy, das ist gleich das

Imax und das wäre in diesem Fall ist ein halb Iyy plus Izz und dann bleibt hier plus die

Wurzel aus Iyy minus Izz halbe zum Quadrat plus Izz Quadrat und das Ivv, das ist das