Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Herzlich willkommen. Wir haben beim letzten Mal uns das Lösungsverhalten der Differentialgleichung

für das Ein-Freiheitsgrad-System angeschaut und hatten uns für verschiedene Kombinationen aus

Steifigkeit und Dämpfungswert die Lage der Eigenwerte in der komplexen Ebene, also die

sogenannten Wurzelorte angeschaut und uns auch das zugehörige Zeitverhalten versucht klarzumachen.

Wir wollen heute eine weitere Darstellung uns anschauen in Abschnitt 3.1.3, das sogenannte

Phasenportrait. Unter dem Phasenportrait versteht man die Gesamtheit aller Bahnkurven des Systemzustands

im Zustandsraum, das ist sozusagen die natürliche Darstellung des Zustandsraums,

die man dann auch als Phasenraum bezeichnet. Gesamtheit aller Bahnkurven des Systemzustands

im Zustandsraum und der lässt sich halt für ein Ein-Freiheitsgrad, also System mit einem

physikalischen Freiheitsgrad noch schön darstellen. Ich habe als Zustände Ort bzw. Lage und

Geschwindigkeit, das ist dann zwei Achsen und dann kann ich Geschwindigkeit über Ort schön

darstellen. Wenn ich zwei physikalische Freiheitsgrade habe, habe ich zwei Orte und zwei Geschwindigkeiten,

dann ist dieser Zustandsraum schon vierdimensional und dann habe ich schon massive Probleme das

grafisch darzustellen. Das heißt diese Darstellung, tatsächlich grafisch als Phasenportrait, ist

eigentlich nur wirklich schön für das Ein-Freiheitsgrad-System. Aber wir hatten ja beim

letzten Mal oder vorletzten Mal gesehen, dass man eigentlich alle mehr Freiheitsgrad-Schwinger

durch modale Entkopplung auf eine Reihe von Ein-Freiheitsgrad-Systemen zurückführen kann,

sodass das eigentlich für die einzelnen Freiheitsgrade und wenn es die modalen sind,

eine ganz hübsche Darstellung ist. Wir schauen uns den Zustandsraum noch mal an, was das heißt. Das

heißt ich führe ein x1 gleich y und x2 gleich y. Wenn y mein physikalischer Freiheitsgrad der

Lage ist, y ist dann die Geschwindigkeit, dann gebe ich denen das in dieser Form. Fasse ich die

zusammen und habe dann die Zustandsform. Also x Punkt als Vektor ist irgendwie Funktion des

aktuellen Zustands und vielleicht explizit der Zeit. Also hier nur noch eine Differenzallgleichung

erster Ordnung. Das haben wir ja schon ausführlich gemacht. Hier in diesem Fall hätte ich die

physikalische Differenzallgleichung y2 gepunktet plus 2 Delta y Punkt plus Omega 0 Quadrat y ist

gleich 0. Dann kann ich mir hier sozusagen y2 gepunktet hinschreiben ist x2 Punkt und es muss

natürlich gelten x2 ist gleich x1 Punkt, das ist diese Identität. Und dann kann ich mir das

zusammen schreiben hier in der Form, dass ich also das als Differenzallgleichungssystem hinschreibe,

x1 Punkt ist gleich x2 diese Gleichung und hier unten drunter x2 Punkt ist die obere Gleichung,

wenn ich entsprechend einsetze, minus 2 Delta x2 minus Omega 0 Quadrat mal x1 muss man verstehen.

Und das ist dann halt kann ich hinschreiben als x Punkt in diesem Fall f von x, wenn ich das in

Matrix Form bringe. In diesem Fall habe ich hier ein Zeit-In Variantesystem. f ist nur eine Funktion

von x und nicht explizit von t, was der allgemeine Fall wäre. Und für diese Fälle, also autonome wie

man sagt, unabhängige natürlich Systeme, also das heißt gerade der Fall f x Punkt ist gleich f von

x ohne die Zeitabhängigkeit ergibt sich dann ein schönes Phasenbild, nämlich ebenfalls ein

zeitunabhängiges Bild im Phasenraum und das ist das sogenannte Phasenportrait.

Kann man sich leicht klar machen, x i Punkt ist fi, also x1 Punkt ist irgendwie Funktion f1,

das f ist ja auch ein Vektor. Das kann ich aber auch schreiben als dxi nach dt, das x i Punkt und

daraus folgt, dass das dxi ist fi mal dt ist und jetzt speziell für den Fall, dass der Phasenraum

zweidimensional ist folgt dx2 durch dx1 lässt sich schreiben dann als f2 dt durch f1 dt. Dann kann ich

das dt rauskürzen, ist f2 zu f1 und da f nicht von der Zeit abhängt sind diese Steigungen hier und

damit das komplette Bild unabhängig von der Zeit. Zeit eben da f nur Funktion von x ist. Wenn man

sich das jetzt also hinzeichnet f1 und f2 hängen von x an das heißt ich kann in einem Plot von x1

und x2 und das ist ja nichts anderes als y Punkt und das ist y also Geschwindigkeit über Ort.

Für jede Kombination von x1 zu x2 das heißt für jeden Punkt hier in dieser Ebene mir die Steigung

von dx2 nach dx1 meiner Phasen Kurve hier ausrechnen. Das heißt ich habe hier an irgendeinem

Punkt hier kann ich mir jetzt ausrechnen dx1 zu dx2 hier das ist sozusagen meine Richtung die

ich hier habe und das ist nichts anderes als f dt und jetzt kann ich das für jeden Punkt machen.

Das heißt ich bekomme jetzt zunächst einmal an jedem Punkt die Richtung und aus diesem