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Also was soll es heute gehen? Um die Fourier-Transformation, Fourier-Analyse?

Also wir haben uns jetzt in der Vorlesung, wo sind wir jetzt allgemein, wir kommen jetzt langsam zu den Anwendungen,

nachdem ich jetzt mit Ihnen numerische Gleichungslöser, Performance-Optimierung, Performance-Messung usw. durchgegangen bin,

wollen wir jetzt mal zu den Anwendungen kommen.

Eine der ersten wichtigen Anwendungen im wissenschaftlichen Rechnen für Ingenieurs und naturwissenschaftliche Aufgaben ist die Berechnung einer Foyer-Transformation.

Damit kann man zum Beispiel Signal-Alarnalysen machen.

Man könnte natürlich auch Signal-Analysen machen und keine Signal-Alarnalysen.

Richtig gut heute der Anfang.

Jetzt schaut es aus wie ein deutsches Wort, oder?

Ja.

Ja, warum ist dieser wichtig?

Kleine Anekdote, als ich studiert habe Ingenieur Mathematik, hatten wir echt einen super Dozenten, den Mörsch, der war in der angewandten Mathematik, also über dem hat Mathematik,

ich hat mir richtig Spaß gemacht, dazu zu hören.

Der konnte auch immer ein bisschen so Anekdoten erzählen.

Und auch zum Herrn Foyer.

Ich weiß nicht, in welchem Jahrhundert das jetzt war, wie es hieß, auch nicht, schätze ich mal, Euler, 18. Jahrhundert.

Auf jeden Fall, der Foyer war Physiker und erst einmal noch nicht bekannt.

Und der hatte eine wahnsinnige Idee.

Der meinte, also wir werden die Foyer-Analyse behandeln, dann die diskrete Foyer-Transformation

und dann uns damit beschäftigen, wie eine schnelle Foyer-Transformation berechnet werden kann

und dann abschließend würde ich auf die parallele Implementierung eingehen.

Also viele Anwendungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften beruhen auf dieser FFT.

Und Beispiele, Spracherkennung, Bildverarbeitung.

Aber warum ist die jetzt so wichtig?

Also jetzt kommen wir wieder zurück.

Der Foyer hatte irgendwie eine wahnwitzige und im ersten Blick mutige Annahme.

Nämlich, man könnte alle Funktionen, die es gibt, die Stätigen, auch die unstätigen,

nicht-stätigen, erzählen wir uns später auch herausgestellt,

durch eine Überlagerung von Sinus- und Kosinusfunktionen mit unterschiedlicher Frequenz aufdrücken.

Ein hartes Ding, oder?

Tatsächlich geht es sogar, leider habe ich das selber nicht mehr geschafft, das Beispiel rauszuziehen,

man könnte sogar eine Taktfunktion, eine Rechtecksfunktion, kann man ausdrücken,

dadurch, dass man lauter und unendlich viele Sinus- und Kosinusfunktionen aufsummiert,

mit unterschiedlichen Frequenzen.

Das gibt es dann, wenn man sie dann aufsummiert, dann gibt es dann so Funktionen, die sehen ein bisschen so aus,

ein bisschen zackig hier, aber wenn man das unendlich macht, unendlich oft macht,

unendlich viele Funktionen, Sinus- und Kosinusfunktionen aufintegriert,

kommt tatsächlich dann was raus mit scharfen Kanten.

Das kann man erst mal nicht glauben, also solche priorischen Funktionen gehen.

Und der Euler, zu seiner Zeit schon bekannter Mathematiker, meinte, so sinngemäß der Fourier spinnt.

Das kann nicht gehen, aber der Fourier hat Recht.

Und hätte der Fourier nicht Recht gehabt, dann würde heute, hätten wir wahrscheinlich keine MP3-Player,

kein JPEG und so weiter, denn was macht eine Fourier-Transformation?

Also wir kriegen dann letztendlich Sinus- und Kosinusfunktionen, die dann aufsummiert werden.

Das Ganze rechnet man dann, das ist schon mal schlecht,

die komplexe Dimension ist immer beim Sinus, wo er in der Vatikal ist.

Und okay, jetzt haben wir hier lauter verschiedene Funktionen von Sinus und Kosinus unterschiedlicher Frequenzen,

die dann zum Beispiel über die Zeit dann bestimmt werden.

Und so, und da davor gibt es dann Koeffizienten a i und b i.