Wir müssen jetzt anfangen. Mein Name ist Björn Kubana. Ich bin normalerweise zuständig für ihre Übungsaufgaben.

Aber heute vertrete ich Professor Marquardt, der auf einer Konferenz ist.

Wir wollen erst mal anfangen, ein bisschen zu wiederholen, was wir in der letzten Stunde gemacht haben. Das war der harmonische Oszillator und der ist extrem wichtig.

Deshalb wird da jetzt relativ viel nochmal wiederholt.

Also wir haben die Wiederholung von dem Abschnitt 4,2, dem harmonischen Oszillator.

Und wir wissen, wie so ein harmonischer Oszillator aussieht, wie die Energiezustände vom harmonischen Oszillator aussehen.

Wir haben eine solche Parabe und die Energien haben gleichmäßige Abstände.

Das heißt, wenn wir den M-Mittenapparate vom harmonischen Oszillator haben, der war p² durch 2m plus mω²½ x², das ist Potenzial.

Dann hat er eben gerade dazu geführt, dass wir Eigenenergien haben, h²ω n±½.

Also Eigenenergien, die hier Abstände haben von h²ω.

Und n läuft hier natürlich von 0 bis unendlich.

Das ist der quantenmechanische harmonische Oszillator und das ist der Input für unsere statistische Physik, die wir jetzt machen.

Damit machen wir statistische Physik, wir haben die Eigenenergien.

Das heißt, wir schreiben üblicherweise die Zustandsnummer auf.

Z ist die Summe über alle nötigen Zustände, die sind hier charakterisiert durch das n, das von 0 bis unendlich läuft.

Und dann haben wir e hoch minus beta mal die Energie, also h²ω n±½.

Jetzt ist in der letzten Vorlesung ausgerechnet worden, das ist nicht schwer, wir können hier diesen Einhalbfaktor rausziehen aus der Summe, der ist immer gleich.

Dann haben wir e hoch minus beta h²ω mal n, also irgendwas q hoch n, dann ist es eine geometrische Reihe.

Und die geometrische Reihe haben wir ausgerechnet und dann kriegen wir die Zustandsnummer.

Dieser Vorfaktor, den wir rausgezogen haben, e hoch minus beta h²ω½.

Und dann kommt der Nenner aus der geometrischen Reihe, 1 minus e hoch minus beta h²ω.

Und das ist die Zustandsnummer, in der Zustandsnummer können wir jetzt wieder alle Sachen, die uns interessieren, rauskriegen.

Das erste, das man sich angeschaut hat in der letzten Stunde, war dann die Besetzungswahrscheinlichkeit von diesen verschiedenen Zuständen.

Also was ist die Wahrscheinlichkeit pn, dass der Zustand n besetzt ist?

Und die Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch den Boltzmann Faktor, e hoch minus beta h²ω n plus einhalb.

Und dann haben wir als Normierung die Zustandsnummer.

Und das noch ein bisschen umschreiben, sehen wir, dass das e hoch minus beta h²ω mal n ist, mal 1 minus e hoch minus beta h²ω.

Das heißt, wir haben hier eine Konstante und hier vorne die Abhängigkeit von n in der Besetzungszahl.

Also dieser Vorfaktor gibt uns an, wie die Zustände besetzt sind, die verschiedenen.

Und wir können es jetzt skizzieren.

Wenn wir also hier n haben und pn aufmalen, dann ist dieser Exponentialfaktor, geht hier also irgendwie so runter.

Und die Besetzungen sind jeweils hier diese Werte, also für 0, für 1, für 2 und so weiter.

Also die mittlere Besetzung, die ist, zeichen wir als n, und die ist gegeben durch 1 über z, die Normierung, die Summe über alle Zustände.

Und dann n mal die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand besetzt ist. Also n mal diesen Boltzmannfaktor e hoch minus beta h²ω n plus einhalb.

Und jetzt sehen wir das wieder ausrechnen.

Und das ist wirklich besonders schwierig. Wir sehen, dass hier vorne steht, was hier im Exponenten steht.

Wir haben es dann gemacht, indem wir eine Ableitung dahingeschrieben haben.

Wir werden nach dieser Größe x ableiten, dann kommt das n nach runter und dann können wir die Summe auswerten.

Und was im Endeffekt rauskam, war, dass hier die Besetzung 1 durch e hoch x minus 1 ist, bzw. das n ist, alles komplett hingeschrieben,

1 durch e hoch beta h²ω minus 1.

Und das hier ist die berühmte Bose-Einstein-Verteilung.

Und die gibt also an, was die mittlere Besetzung von einem solchen harmonischen Oszillator ist, in Abhängigkeit von Temperatur und Frequenz des harmonischen Oszillators.

Man darf das nicht damit verwechseln, wie die einzelnen Zustände besetzen. Die einzelnen Zustände sind besetzt nach Boltzmanngewichten.

Die Bose-Einstein-Verteilung gibt mir an, was genau das ist, den Erwartungswert für die mittlere Besetzung.

Und wenn wir die mittlere Besetzung haben, dann haben wir auch die mittlere Energie.

Wir hatten, dass die Energie ist h für ω n plus einhalb. Und wenn wir jetzt die mittlere Energie anschauen, dann ist alles, was wir machen müssen, dass wir hier das mittlere n nehmen, die mittlere Besetzungswahrscheinlichkeit.

Und das können wir uns dann anschauen, wie das aussieht. Also entweder die mittlere Energie oder die mittlere Besetzung.

Wir schauen uns hier an die mittlere Besetzung als Funktion der Temperatur. K Boltzmann T durch h quer ω.

Wir haben mit e die mittlere Energie immer bezeichnet, die Mittelwert schon, ohne die Klammern.

Genauso wie wir mit f die freie Energie bezeichnen.