So, hallo allerseits, ich möchte diese Stunde den Stoff der Vorlesung abschließen und das bedeutet,

wir werden uns die zeitabhängigen Phänomene noch mal genauer anschauen und insbesondere diesen

schönen Beweis von Boltzmann, warum überhaupt eine Geschwindigkeitsverteilung wirklich ins

Gleichgewicht relaxiert zur Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Starten möchte ich mit etwas sehr elementarem.

Wir hatten uns das letzte Mal angeschaut, ein Teilchen, was oszilliert und dabei von

einem Wärmebad umgeben ist und deswegen werden die Schwingungen manchmal stärker und manchmal

weniger stark. Jetzt soll es noch einfacher sein, wir schauen uns einfach ein großes Teilchen in

einem Wärmebad an, sozusagen ein freies Teilchen, was noch nicht mal oszilliert.

Und das führt uns dann auf die Diffusion, weil das Teilchen wird durch die Stöße dann in

Zufallspfad nehmen. Das heißt, ich stelle mir vor, ich habe hier mein großes Teilchen,

hier sind all die kleinen Teilchen des Wärmebades, vielleicht sind die auch genauso groß und da die

mit dem großen Teilchen zusammenstoßen, wird das immer wieder abgelenkt und mit der Zeit wird

es also eine Zufallsbewegung durchführen. Und wir wollen uns jetzt eine einfache Frage stellen,

nämlich wenn das Teilchen an einer Stelle startet, nach N solchen Schritten dieses

Zufallsprozesses, wo befindet es sich dann? Und das einfachste Modell, was wir uns machen können,

ist, dass nach diesen N Schritten ich die Position darstelle, einfach als Summe über die Teilschritte,

über die Bewegung in den Teilschritten und dass ich vielleicht sogar annehmen darf,

dass die einzelnen Teilschritte völlig unabhängig in die eine oder andere Richtung mit dem einen

oder anderen zufälligen Wert erfolgt sind. Das ist das einfachste Modell, was wir haben können.

Also hier hätte ich eine Summe zwischen 1 und N, wenn das N Schritte sind, Delta xj,

das wäre die Distanz in dem Schrittnummer j. Und natürlich ist xn auch selber eine Zufallsgröße,

das heißt wir können nur statistische Aussagen machen. Zum Beispiel, wenn der Mittelwert von jedem

Delta x gleich 0 ist, weil die Schritte genauso oft nach rechts wie nach links laufen, dann wird auch

der Mittelwert von xn gleich 0 sein. Und das bedeutet, ich will jetzt gleich die Varianz von

xn mir anschauen, um sozusagen herauszufinden, wie weit ist der typische Abstand vom Ursprung.

Nun hier habe ich die Varianz von N unabhängigen Zufallsvariablen in unserem einfachen Modell.

Und das ist nichts anderes als die Summe der Varianzen. Und wenn wir jetzt ferne annehmen,

dass jeder Schritt irgendwie gleich gut ist und dieselbe Varianz hat, dann gibt mir das gerade N

mal die Varianz für einen einzelnen Schritt. Und das bedeutet, wenn ich jetzt lange Zeiten warte,

dann wird die Varianz der Position linear in der Zeit zunehmen. Linear in der Zahl der Schritte,

für eine gegebene Zeit gibt es jeweils einen Schritt, also linear in der Zeit wird es zunehmen.

Das ist also proportional zur Zeit und es wird irgendeine Proportionalitätskonstante geben,

die dann natürlich damit zusammenhängt, erstens, welche Zeit brauche ich für einen einzelnen

Schritt und zweitens, was ist denn diese Varianz für den einzelnen Schritt. Die

Proportionalitätskonstante wird konventionellerweise D genannt für Diffusionskonstante und dann steht

nach Tradition auch noch ein Faktor 2 hier dabei, damit dann eine Gleichung im Folgenden etwas

einfacher aussieht. Okay, wir könnten uns auch ein bisschen genauer fragen, wie sieht nicht nur

die Varianz aus, sondern wie sieht die Wahrscheinlichkeitsdichte aus, das Teilchen

nach so und so vielen Schritten an diesem oder jenem Ort zu finden. Zu Beginn startet das bei

x gleich Null, da wäre die Wahrscheinlichkeitsdichte sozusagen eine Delta-Funktion bei x gleich Null

zentriert, aber im Laufe der Zeit muss die Dichte breiter werden und wir wollen uns anschauen,

wie sieht denn diese Wahrscheinlichkeitsdichte aus. Ganz qualitativ natürlich, bei kleinen Zeiten

wird sie nahe um Null zentriert sein, bei größeren Zeiten wird sie entsprechend breiter sein, wenn die

Normierung erhalten ist, muss sie dann auch flacher werden und wir wissen, wie die Breite anwächst.

Die Breite ist ja gerade die Wurzel aus der Varianz und damit wächst die Breite genau an,

wie die Wurzel aus der Zeit. Also so viel haben wir schon herausgefunden. Und jetzt können wir

die Mathematiker im Publikum sozusagen bestätigen, wenn ich hier viele unabhängige

Zufallsvariablen habe, ist es praktisch völlig egal, wie deren einzelne Wahrscheinlichkeitsdichte

aussieht. Wenn ich nur hinreichend viele Schritte habe, dann wird die Wahrscheinlichkeitsdichte,

die sich dadurch ergibt, für die Summe all dieser Zufallsvariablen eine Gauss-Verteilung sein.